Question

求满足微分方程f'(x)+xf'(-x)=x的函数

Answer 1

解：微分方程f'(x)+xf'(-x)=x ①
对任意的x均成立。将x替换成-x，得
f'(-x)+(-x)f'(x)=-x
两边都乘以x，得
xf'(-x)-x^2f'(x)=-x^2 ②
①-②得
(1+x^2)f'(x)=x+x^2
f'(x)=(x^2+1+x-1)/(1+x^2)=1+x/(x^2+1)-1/(1+x^2)
两边对x积分，得
f(x)=x+1/2*ln(x^2+1)-arctanx+c
不明白请追问。

Answer 2

解：由f'(x)+xf'(-x)=x ① 得 f'(-x)-xf'(x)=-x (以-x代x) ②
于是①- ②*x ：(1+x²)f'(x)=x+x²
所以f'(x)=(x+x²)/(1+x²)
f(x)=∫f(x)dx=∫[x/(1+x²)-1/(1+x²)+1]dx
=x-arctanx+∫x/(1+x²)dx
=x-arctanx+xarctnx-∫arctanxdx
=x-arctanx+xarctnx-xarctanx+1/2ln(1+x²)+C
=x-arctanx+1/2ln(1+x²)+C