Question

在直角梯形abcd中,AD‖BC,AB⊥BC,点M为直角梯形ABCD

Answer 1

提示
⑴∠AMN＝180°－∠AMD＝45°,AM＝AN∴∠ANM＝∠AMN＝45°，∠MNB＝∠ANB－∠ANM＝∠AMD－∠ANM＝135°－45°＝90°∴BN⊥MN
⑵MN＝√﹙AM²＋AN²﹚＝√﹙1²＋1²﹚＝√2,BN＝DM＝3√2
BM＝√﹙BN²＋MN²﹚＝√[﹙3√2﹚²＋﹙√2﹚²]＝√20＝2√5;
作BE⊥直线AN于E；则BE＝BN/√2＝3√2/√2＝3
⑶AD＝AB＝√﹙AE²＋BE²﹚＝√﹙4²＋3²﹚＝5
S四边形MBCD＝S梯形ABCD－﹙S⊿ADM＋S⊿ABM﹚
＝S梯形ABCD－﹙S⊿ABN＋S⊿ABM﹚
＝S梯形ABCD－﹙S⊿AMN＋S⊿BMN﹚
＝½﹙5＋8﹚×5－﹙½×1²＋½×√2×3√2﹚
＝29

Answer 2

1. BN垂直于MN，证明：角AMN=180-135=45，又AM=AN，所以角ANM=角AMN=45，所以角BNM=135-45=90，且三角形NAM为等腰直角三角形。
2. AM=1，所以NM=√2，BN=MD=3√2，MB平方=NM平方+BN平方=2+18=20，MB=2√5
做BF垂直AN于点F，则角BNF=NBF=45，所以BE=√2/2×BN=3
3. AB平方=AF平方+BF平方=（1+3）平方+3平方=25，所以AD=AB=5
S四边形MBCD＝S梯形ABCD－﹙S⊿ADM＋S⊿ABM﹚=S梯形ABCD－﹙S⊿ANB＋S⊿ABM﹚=S梯形ABCD－﹙S⊿ANM＋S⊿BNM﹚=1/2(AD+BC)×AB-1/2(AN×AM)-1/2BN×NM
=1/2(5+8)×5-1/2（1×1）-1/2（3√2×√2）=1/2（65-1-6）=29