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设 k1a1+k2A(a1+a2)=0
则 k1a1+k2λ1a1+k2λ2a2=0
即 (k1+k2λ1)a1+k2λ2a2=0
由于属于不同特征值的特征向量线性无关
所以 k1+k2λ1=0
k2λ2=0
此齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是λ2≠0
即有 a1,A(a1+a2)线性无关的充分必要条件是λ2≠0
则 k1a1+k2λ1a1+k2λ2a2=0
即 (k1+k2λ1)a1+k2λ2a2=0
由于属于不同特征值的特征向量线性无关
所以 k1+k2λ1=0
k2λ2=0
此齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是λ2≠0
即有 a1,A(a1+a2)线性无关的充分必要条件是λ2≠0
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