Question

函数f(x)=㏒2x+㏒2(1-x)的最大值是(要详细过程)

Answer 1

解：
f(x)=㏒2x+㏒2(1-x)
f(x)=㏒2[x(1-x)]
令t=x(1-x)
=x-x²
=-(x²-x+1/4)²+1/4
则t=x(1-x)≤1/4
从而f(x)=㏒2[x(1-x)]≤㏒2(1/4)]=-2
所以函数f(x)=㏒2x+㏒2(1-x)的最大值是-2。

追问

则t=x(1-x)≤1/4为什么？

追答

不好意思，上面多了个平方

令t=x(1-x) =x-x² =-(x²-x+1/4)+1/4=-(x²-1/2)²+1/4
因为00,1-x>0，可知函数的定义域为（0，1）
令t=x(1-x) （0<x<1）
=x-x²
=-(x²-x+1/4)+1/4
=-(x²-1/2)²+1/4 （0<x<1）
则t=x(1-x)≤1/4
从而f(x)=㏒2[x(1-x)]≤㏒2(1/4)]=-2
所以函数f(x)=㏒2x+㏒2(1-x)的最大值是-2。

追问

当x=1/2时，(x²-1/2)²取得最小值0，不可能是0

追答

实在不好意思，我又打错字了，括号里面没有平方的。

更正如下：
解：
f(x)=㏒2x+㏒2(1-x)
f(x)=㏒2[x(1-x)]
根据x>0,1-x>0，可知函数的定义域为（0，1）
令t=x(1-x) （0<x<1）
=x-x²
=-(x²-x+1/4)+1/4
=-(x-1/2)²+1/4 （0<x<1）
则t=x(1-x)≤1/4
从而f(x)=㏒2[x(1-x)]≤㏒2(1/4)]=-2
所以函数f(x)=㏒2x+㏒2(1-x)的最大值是-2。

因为0<x<1，当x=1/2时，(x-1/2)²取得最小值0啊，所以是可以取得的。

Answer 2

定义域x>0,1-x>0
所以0<x<1

f(x)=log2x(1-x)=log2(-x²+x)
-x²+x=-(x-1/2)²+1/4
0<x<1则x=1/2，真数最大是1/4
所以最大值是log2(1/4)=-2