Question

几道高二数学题求教，求过程！！一定要有详细的过程，特别是第3第4题，大题来的，希望高手教一下，谢谢

1，已知lgx+lgy=2，则1/x+1/y的最小值为多少？
2，在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若cosC/cosB=(2a-c)/b，则角B=？
3，设an是一个公差为d(d≠0)的等差数列，它的前10项和S10=110，且a1、a2、a4成等比数列.
(1)证明a1=d，(2)求公差d的值和数列an的通项公式
4，已知正项数列an的前n项和为Sn，方程X^2+4X-4Sn=0有一根为an-1.
(1)证明数列an为等差数列，(2)令Tn=1/S1+1/S2+…+1/Sn，求证：Tn＜3/4

Answer 1

1.
∵ lgx+lgy=2
∴ lg(xy) = 2
x, y >0
∴ xy = 10^2 =100
∴ x + y ≥ 2√xy =20
∴ 1/x+1/y = (x+y)/xy ≥2√xy/xy =20/100 =1/5

2.
△ABC中，
由余弦定理可以得到，
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cosB
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC
∵cosC/cosB=(2a-c)/b
∴ cosC/cosB = [(a^2+b^2-c^2)/2ab]/[(a^2+c^2-b^2)/2ac]
= [c(a^2+b^2-c^2)]/[b(a^2+c^2-b^2)]
= (2a-c)/b
整理得： a^2+c^2-b^2 = ac
∴ cosB = (a^2+c^2-b^2)/(2ac) =1/2
∵在△ABC中，B∈(0,π)
∴ B = π/3

3.
(1)
∵an是一个公差为d(d≠0)的等差数列，且a1、a2、a4成等比数列
∴ (a2)^2 = a1 * a4
∴ (a1 + d)^2 = a1*(a1+3d)
∴ (a1)^2 + d^2 +2d*a1 = (a1)^2 +3d*a1
∵ d≠0
∴ a1 = d
(2)
∵ a1 = d,
∴ an =a1 + (n-1)d = nd
∵ S10 =110,
∴ (a1 + a10)*10/2 = (d+10d)*5=110
∴ d=2
∴ an = nd =2n

4.
证明：
首先说明下符号的意思
第n-1项写成a(n-1)
那个方程的根是第n项-1，即 an-1
∵ X^2+4X-4Sn=0有一根为an-1
∴ (an-1)^2 + 4(an-1) - 4Sn=0
∴ Sn = [(an-1)^2+4(an-1)]/4
∴ n≥2时，前n-1项和为
S(n-1) = {[a(n-1)-1]^2 + 4[a(n-1)-1]}/4
∴ n≥2时，数列的通项为
an = [(an-1)^2+4(an-1)]/4 - {[a(n-1)-1]^2 + 4[a(n-1)-1]}/4
= [an^2 - a(n-1)^2 + 2an - 2a(n-1)]/4
∴ an^2 - a(n-1)^2 + 2an - 2a(n-1) = 4an
∴ an^2 - a(n-1)^2 - 2an - 2a(n-1) = 0
即 [an + a(n-1)] * [an - a(n-1) -2] = 0
∵an为正数项数列
∴ an + a(n-1) >0
∴ an - a(n-1) =2
∵ Sn = [(an-1)^2+4(an-1)]/4
∴ n=1时，
a1 = S1 = [(a1-1)^2 + 4(a1-1)]/4
∴ a1 = 3
∴ 数列 an是以3为首项，公差为2的等差数列， 得证
∴ an = 3 + (n-1)*2 = 2n + 1
Sn = (3 +2n +1)*n/2 =n(n+2)=n^2 + 2n
(2)
证明：
1/Sn = 1/[n*(n+2)]
= 1/2 * [1/n - 1/(n+2)]
∴ Tn = 1/S1+1/S2+…+1/S(n-1)+1/Sn
=1/2* [1-1/3 + 1/2-1/4 + …… + 1/(n-1)-1/(n+1) + 1/n-1/(n+2)]
=1/2* [1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)]
=3/4 - 1/2* [1/(n+1)+1/(n+2)] < 3/4 (∵后面两项都大于0)
得证
终于做完了，希望对你有用~~~