Question

初三数学抛物线

抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A(-1,0)B(3,0)
（1）求出一个符合上述条件的抛物线的函数表达式
（2）若抛物线与y轴交于点C（0，3/2），点E（x,y）是抛物线上位于x轴上方的一个动点，四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形。
①求平行四边形OEBF的面积S与x之间的函数表达式。当平行四边形OEBF的面积为45/8时，求点E的坐标，并判断此时平行四边形OEBF是否为菱形；
②是否存在点E，使平行四边形OEBF为正方形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）将两点坐标带入曲线中得到

a-b+c=0
9a+3b+c=0
得到
c=-3a
b=-2a
代入抛物线得到y=a(x²-2x-3),令a=1,得
一个符合上述条件的抛物线的函数表达式为
y=x²-2x-3
（2）①依题意得到，c=-3a=3/2,a=-1/2,b=-2a=1得抛物线为y=-1/2(x²-2x-3)，
因为，OB为对角线、E为平行四边形的一个顶点，又平行四边形OEBF的面积为45/8，
则，三角形OBE的面积为45/16，OB=3，E到OB的距离d为 |y|(E的纵标绝对值)
则d*OB*1/2=45/16，即|y|*3*1/2=45/16,得到y=15/8或-15/8，
又点E（x,y）是抛物线上位于x轴上方的一个动点，即y>0得到y=15/8，
且
15/8=-1/2(x²-2x-3)，得到x=3/2或1/2即E（3/2,15/8）或（1/2,15/8）
判断此时平行四边形OEBF是否为菱形只需判断EO的长度是否等于EB的长度
当E（3/2,15/8）时，易得EO²=EB²=369/64,此时平行四边形OEBF为菱形
当E（1/2,15/8）时，EO²不等于EB²，从抛物线的图形中可轻易发现
则，此时平行四边形OEBF不为菱形
②若存在，则EO²=EB²=1/2OB²=d²=9/2(d为E到OB的距离，也是E到OB中点G的距离，且OG与OB垂直)，则E的横坐标为O和B横坐标之和的1/2
即x=（0*3）/2=3/2，代入抛物线曲线得到
y=15/4，EO²=(3/2-0)²+(15/4-0)²=369/64,显然不等，即不存在点E，使平行四边形OEBF为正方形

真不轻松，望采纳

追问

第一题中的“代入抛物线得到y=a(x²-2x-3),令a=1,得”为什么要代入这个抛物线呢，哪里有这个抛物线？

追答

将b=-2a,c=-3a代入抛物线y=ax²+bx+c,得到y=a(x²-2x-3)