Question

在等腰rt△ABC中，AC=BC,以斜边AB为一边做等边三角形ABD，再以CD为一边做正△，使C E在AD异侧，求CD

Answer 1

解：延长DC交AB于F

由题意易得，

∵AC=BC，

∴C在AB的垂直平分线上，

∴CD是等边三角形ABD的角平分线，

所以∠ADC=30°，

则∠EDA=60°-30°=30°，

∵ED=DC，AD=AD，∠EDA=∠CDA=30°

∴△EDA≌△CDA

∴EA=AC=1

 

∴在等腰Rt△ABC中AB=√2

∴BF=CF=√2/2

在△ABD中tan∠BDF=tan30°=BF/DF

∴DF=√6/2

∴DC=DF-CF=(√6-√2)/2

追问

如果三角形ABD在AB的下面呢？

Answer 2

CD垂直平分AB，设AC=1，AB与CD相交于O，
则AB=√2，OD=√6/2，OC=√2/2，
当C、D在AB的同侧时，
CD=OD-OC=(√6-√2)/2，
当CD在AB的异侧时，CD=OC+OD=(√6+√2)/2。