Question

如图，在矩形ABCD中，AC,BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE=15°，求∠BOE的度数

如图，在矩形ABCD中，AC,BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE=15°，求∠BOE的度数

Answer 1

AE平分∠BAD，所以∠BAE=∠BAD/2=90°/2=45°
加上∠ABE=90°，所以△ABE是等腰直角三角形，AB=BE
在矩形ABCD中，AC=BD，且AO=AC/2，BO=BD/2，所以AO=BO
加上∠BAO=∠BAE+∠CAE=45°+15°=60°，所以△ABO是正三角形
所以AB=BO，已证AB=BE，所以BE=BO
所以∠BOE=∠BEO，且在△BEO中，∠BOE+∠BEO+∠EBO=180°
所以∠BOE+∠BOE+∠EBO=180°，即∠BOE=(180°-∠EBO)/2
由于△ABO是正三角形，∠ABO=60°，所以∠EBO=∠ABE-∠ABO=90°-60°=30°
则∠BOE=(180°-∠EBO)/2=(180°-30°)/2=75°