Question

泰勒公式求极限，怎么知道是展开几阶？

lim x->0 [ (e^x)*(sinx)-x(1-x) ] / (x^3)
书上是把e^x和sinx都展开成三阶，但这两个是相乘的为什么也展开到三阶呢？
还有求此题的详解，特别是sinx和e^x相乘的展开部分

Answer 1

分子的后面部分是x-x^2，既然只有二次方，那么前面的e^x*sinx中只要出现x^3就可以了，也许x^2项还抵消不了呢，所以把e^x与sinx展开到三阶，相乘即可。
e^x=1+x+1/2*x^2+1/6*x^3+O(x^3)
sinx=x-1/6*x^3+O(x^3)

e^x*sinx=x+x^2+(1/2-1/6)x^3+O(x^3)=x+x^2+1/3*x^3+O(x^3)，所有超过x^3的项都合并到O(x^3)中。

分子的第二项错了，应该是x(1+x)。
原极限=lim [1/3+O(x^3)/x^3]=1/3

Answer 2

上下求导吧，根据sinx除以x在x趋于0的情况下等于1可以解出来

追问

我现在是想熟悉泰勒公式，不是解出这个题目，所以能告诉我具体的泰勒公式求解方法吗？