Question

已知函数f(x)=3x方+2(k-1)x+k+5(k∈r)在区间(0,2)内有零点,求k的取值范围

没看明白，为什么这样做“对称轴在(0，2)内、f(0)>0、f(2)>0，得：此时无解”
“②若在(0，2)内存在一个根，则：f(0)×f(2)<0，得：－5<k<－2
综合，得：－5<k≤－2”
要计算步骤f(x)=3x²＋2(k－1)x＋k＋5在区间(0，2)内有零点，则：
(1)判别式=4(k－1)²－12(k＋5)=0时，得：k=7或者k=－2，此时方程的根分别是：
k=7时，根是：x1=x2=－2
k=－2时，根是：x1=x2=1
(2)若判别式大于0，则：k>7或k<－2
此时：
①若两根都在(0，2)内，则：对称轴在(0，2)内、f(0)>0、f(2)>0，得：此时无解；
②若在(0，2)内存在一个根，则：f(0)×f(2)<0，得：－5<k<－2
综合，得：－5<k≤－2 我已经没有悬赏了，大家帮帮忙吧，谢谢
①若两根都在(0，2)内，则：对称轴在(0，2)内、f(0)>0、f(2)>0，得：此时无解；
②若在(0，2)内存在一个根，则：f(0)×f(2)<0，得：－5<k<－2

是怎么算的

Answer 1

这是山东会考最后一题，很简单，楼主的结果对了

应讨论对称轴：
①当对称轴在0的左边的时候，可以得到关于k的不等式，同时此时根据图像得满足 f(0)＜0，f(2)>0
然后这三个不等式取交集，可以看出是无解的。
②当对称轴在2的右边的时候，也可以得到关于k的不等式，同时此时根据图像得满足f(0)＞0，
f(2)＜0，然后这三个不等式取交集，可以看出也是是无解的
③当对称轴在0和2之间的时候，可以得到关于k的不等式，这时只要判别式大于等于0就可以了，然后这两个不等式取交集就可以得到 k的值域为(-5, -2]

最后再来个 综上所求，k的取值范围为(-5, -2]

Answer 2

这一类题可以换个方法做，不用这么麻烦：
3x^2+2(k-1)x+k+5=0在(0,2)有解
则k(2x+1)=-3x^2+2x-5
k=(-3x^2+2x-5)/(2x+1)=g(x)
只需求g(x)的值域即可
令t=2x+1, 则t在(1, 5)
x=(t-1)/2
g(t)=[-3(t-1)^2/4+(t-1)-5]/t=[-3t^2+6t-3+4t-4-20]/(4t)=[-3t^2+10t-27]/(4t)=5/2-1/4*(3t+27/t)
由均值不等式，有3t+27/t>=2√(3t*27/t)=18, 当3t=27/t,即t=3时取等号
所以有g(t)<=5/2-18/4=-2
g(t)的最小值在t的端点取得。由g(1)=-5, g(5)=-13/5
所以g(t)的值域为(-5, -2]
故有k的值域为(-5, -2]