Question

等价无穷小量代换的条件？我来举例求你解答！

如果式子如下：
1(.A+B/C A能用等价无穷小代换么？C能用么？
2。AB+CD A能用代换么？
3.A+（B/C) ÷ D+（E/F) B和E能用代换么？D能么？

诚心求教！

Answer 1

1，（A+B）/C，C可以用等价无穷小，A，B不可以
2，不可以
3，B，E，D都不能用等价无穷小；当然利用极限的和等于和的极限，当该多项式，每一项极限都存在，即A，B/C÷D，E/F都存在极限，那么B，E，D都可以用等价无穷小
这么和你说吧，一般只要乘积的因式，可以用等价无穷小；
如果是和的形式，则拆开后极限存在的情况下，每一项乘积的因式也可以用等价无穷小
另外有些特殊的题目，加减用等价无穷小不会影响结果，这个需要作证明或者变形。更好的办法是用泰勒级数，到时你就知道为啥加减不能直接用等价无穷小了

追问

不好意思再追问下：1式如果拆成(A/C)+(b/c)切两个十字极限都存在就可以用等价了，你是这个意思吧？另，第二个式子中的B和第三个式子中的BCEF都是一个因式中的一部分啊……都不能换么？
有个题目是这样的：求X→0时，(1-sinX/X ) ÷（1-tanX/x) 答案是0 把sin和tan都换了，为什么这时候就可以？
谢谢你啦~我觉得你是明白人，我这块特别糊涂。

追答

1，是
我说的因式是指整个求极限的式子的因式，第二个和第三个式子的B，BCEF显然不是
2，你也不能直接换啊，你看换了是0÷0，也不能求出来啊
lim 1-sinx /x lim （x-sinx）cosx
———— = ─────────
x→0 1-tanx /x x→0 xcosx-sinx

然后利用络必达法则，当x→0时，1-cosx~½x²，最终结果是-1/2

Answer 2

等价无穷小只能在乘除的时候代换~ 要是有 加 减号的 话要变形
具体要看题目了