Question

求解一道极限题目！求详细方法！

Answer 1

用两次洛必达法则

Answer 2

先等效替换,x->0
tanx~x
原式=[(1+4x)^(1/4)-x-1]/x^2
代入x=0
0/0
洛必达
原极限=((1+4x)^(-3/4)-1)/(2x)
然后再等效替换,y->0
(1+y)^a~1+ay
此处y=4x,a=-3/4
所以
原极限
=(1+4x*(-3/4)-1)/(2x)
=-3/2

不明白可追问

追问

转换成这步不明白！！ 原极限=((1+4x)^(-3/4)-1)/(2x)

追答

我说错了，用的等效替换是
y->0
(1+y)^a-1~ay

所以
(1+4x)^(-3/4)-1 ~ 4x*(-3/4) = -3x
这里y=4x,a=-3/4
明白了么？

追问

原极限=((1+4x)^(-3/4)-1)/(2x)是不是错了啊 不是这个吗 原极限=(1/4(1+4x)^(-3/4)-1)/(2x) 少了个1/4啊

坑爹啊 你后面求的莫名其妙就得出答案了。。。

追答

你错了，链式求导，4x那还有个4，和1/4抵消了

追问

(1+y)^a-1~ay这里严重看不懂！！(1+4x)^(-3/4)-1 ~ 4x*(-3/4) 过程能详细点吗 好难理解

追答

就是等价无穷小替换
y->0时
(1+y)的a次方-1等价于a*y
仅此而已
再把y=4x,a=-3/4代入即可

如果不喜欢，就再用一次洛必达
就可以看到分母是2
分子是(1+4x)^(-7/4)*(-3)
代入x=0
分子是-3

Answer 3

原式=x➔0lim[(1+4x)^(1/4)-x-1]/x²=x➔0lim[(1+4x)^(-3/4)-1]/2x=x➔0lim[-3(1+4x)^(-7/4)]/2=-3/2