Question

判断题：若R（b1，b2，b3）<R（a1,a2,a3）,则向量组b1，b2，b3能由向量组a1,a2,a3线性表示。是否正确

书上的定理只是说：向量组b1，b2，b3能由向量组a1,a2,a3线性表示，则R（b1，b2，b3）≤R（a1,a2,a3），这个定理是充要条件吗？谢谢

Answer 1

不正确。
例如：
b1=(0,0,0)^T，b2=(0,0,0)^T，b3=(0,0,1)^T
a1=(1,0,0)^T,a2=(0,1,0)^T,a3=(0,0,0)^T
显然R（b1，b2，b3）＝1<R（a1,a2,a3）＝2,
显然向量组b1，b2，b3不能由向量组a1,a2,a3线性表示.
最起码b3不能由a1,a2,a3线性表示.

定理的条件是充分条件. 但不是必要条件.

追问

若R（b1，b2，b3）<R（a1,a2,a3）,则向量组b1，b2，b3能由向量组a1,a2,a3线性表示。后面一句能否转化为AX=B有解呢？

追答

可以转化。
“向量组b1，b2，b3能由向量组a1,a2,a3线性表示”与
“AX=B有解 ”是一个意思. 其中A=(a1,a2,a3),B=(b1，b2，b3).

但要注意的是：
“若R（b1，b2，b3）<R（a1,a2,a3）,则向量组b1，b2，b3能由向量组a1,a2,a3线性表示”
这个命题是错的. 上面已经举出反例了.

追问

您举得反例很好，我就是有点不明白既然能那样转化，相当于R(B)<R(A),则AX=B有解嘛，有解则N：R(B)≤R(A),而条件是M：R(B)<R(A)，M是N的子集肯定能推出来N嘛，这不又矛盾了吗？我是哪点混淆了呢？

追答

R(B)<R(A) 不是有解的条件，AX=B有解的条件是R(A)=R(A,B)

尽管R(B)< R(A), 但还是有R(A) ≤ R(A,B), 上面我举出的例子中就有R(A)=2<R(A,B)=3.