Question

若定义在r上的函数fx对任意x1.x2属于r都有f(x1+x2)=fx1+fx2+2成立，且当x>0时，fx>-2

1.求证gx=fx+2为奇函数
2.求证fx在r上是增函数
3.若f（1）=—1解不等式f（log2m）<2求m取值范围 （m在上面，2在下面）求过程

Answer 1

令x1=x2=0，所以f(0+0)=f(0)+f(0)+2, 所以f(0)=-2
令x1=x, x2=-x，所以f(x-x)=f(x)+f(-x)+2, 所以f(x)+f(-x)=f(0)-2=-4

1. g(-x)=f(-x)+2, g(x)=f(x)+2
因为f(x)+f(-x)=-4, 所以f(-x)+2=-[f(x)+2]即g(-x)=-g(x)， 得证。
2. 假设x1>0, x2<0，且x1>-x2
f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+2
因为x1+x2>0，所以f(x1+x2)>-2
所以f(x1)+f(x2)+2>-2，得到f(x1)+2>-[f(x2)+2]=f(-x2)+2 于是f(x1)>f(-x2) 同时g(x1)>g(-x2)
于是证明了，当x>0时，g(x)是增函数，因为g(x)又是奇函数，所以g(x)是R上的增函数，于是f(x)也是R上的增函数。
3. f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+2=0, f(4)=2f(2)+2=2
于是f(log2m)<2=f(4)，由单调性，log2m<4, 得到0<m<16