Question

在数列{an}中，a1=3,an=-an-1-2n+1(n≥2,且n属于N*) (1)证明：数列{an+n}是等比数列，求｛an}的通项公式

Answer 1

1.
an=-a(n-1)-2n+1
an+n=-a(n-1)-n+1=-[a(n-1)+(n-1)]
(an +n)/[a(n-1)+(n-1)]=-1，为定值。
a1 +1=3+1=4
数列{an +n}是以4为首项，-1为公比的等比数列。
2.
an +n=4×(-1)^n=-4×(-1)ⁿ
an=-n -4×(-1)ⁿ
n=1时，a1=-1-4×(-1)=3，同样满足。
数列{an}的通项公式为an=-n-4×(-1)ⁿ

Answer 2

an=-an-1 -2n+1--->an+n=-an-1 -n+1--->an+n=-(an-1+(n-1))--->(an+n)/(an-1 +(n-1))=-1--->an+n为等比数列，an+n=(-1)^(n-1)*(a1+1)=(-1)^(n-1)*4--->an=(-1)^(n-1)*4-n;