如图1,直线L:y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C,经过B、C两点的抛物线G:y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为A
如图1,直线L:y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C,经过B、C两点的抛物线G:y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为A,顶点为P,且对称轴是直线x=2.(1)该抛...
如图1,直线L:y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C,经过B、C两点的抛物线G:y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为A,顶点为P,且对称轴是直线x=2.
(1)该抛物线G的解析式为____
(2)将直线L沿y轴向下平移___个单位长度,能使它与抛物线G只有一个公共点;
(3)若点E在抛物线G的对称轴上,点F在该抛物线上,且以点A、B、E、F为顶点的四边形为平行四边形,求点F坐标.
(4)连接AC,得△ABC.若点Q在x轴上,且以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似,求点Q的坐标.
图:http://www.jyeoo.com/math/ques/detail/a89a641a-112f-4814-9f06-10c183da402b
要过程 展开
(1)该抛物线G的解析式为____
(2)将直线L沿y轴向下平移___个单位长度,能使它与抛物线G只有一个公共点;
(3)若点E在抛物线G的对称轴上,点F在该抛物线上,且以点A、B、E、F为顶点的四边形为平行四边形,求点F坐标.
(4)连接AC,得△ABC.若点Q在x轴上,且以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似,求点Q的坐标.
图:http://www.jyeoo.com/math/ques/detail/a89a641a-112f-4814-9f06-10c183da402b
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1)对称轴为x=2,设抛物线的方程为y=k(x-2)^2+n
直线L与x轴和y轴的交点为B(3,0)C(0,3),将这2个点对应的x,y值代入抛物线方程,得出k和n
k=1,n=-1
抛物线方程为y=1(x-2)^2-1=x^2-4x+3
2)设向下平移m个单位,此时的直线方程为L1:y=-x+3-m
用抛物线G方程的解析式-L1的解析式
得到新的方程
y=x^2-4x+3-(-x+3-m)
y=x^2-3x+m
(这个方程的y值表示的是对应x值时抛物线和直线的垂直距离)
当y=0时,抛物线与直线L1相交。
当只有一个公共点时,y=0有唯一一组解。
解的个数通过△来确定,当△=0时,该方程有唯一解。
==>
3^2-4*1*m=0
m=9/4
3)
因为E在抛物线的对称轴上,则EA=EB,且对称轴是平行四边形的一条对角线。
该平行四边形为菱形,且F点必须也在对称轴上,而同时F点在抛物线上,则F点与P点重叠。
将x=2代入抛物线的解析式,算得P点坐标为(2,-1),即F点坐标为(2,-1),E点与F点关于x轴对称,其坐标为(2,1)。能构成三角形的Q点有两种情况,①Q在B点的左边,②Q在B点的右边
显然,∠ABC=45°,∠PBA=45°
第二类BQ∽BC,BP∽BA
利用相似三角形对应边的比值相等,得出两个Q值。
分别为(7/3,0)(0,0
直线L与x轴和y轴的交点为B(3,0)C(0,3),将这2个点对应的x,y值代入抛物线方程,得出k和n
k=1,n=-1
抛物线方程为y=1(x-2)^2-1=x^2-4x+3
2)设向下平移m个单位,此时的直线方程为L1:y=-x+3-m
用抛物线G方程的解析式-L1的解析式
得到新的方程
y=x^2-4x+3-(-x+3-m)
y=x^2-3x+m
(这个方程的y值表示的是对应x值时抛物线和直线的垂直距离)
当y=0时,抛物线与直线L1相交。
当只有一个公共点时,y=0有唯一一组解。
解的个数通过△来确定,当△=0时,该方程有唯一解。
==>
3^2-4*1*m=0
m=9/4
3)
因为E在抛物线的对称轴上,则EA=EB,且对称轴是平行四边形的一条对角线。
该平行四边形为菱形,且F点必须也在对称轴上,而同时F点在抛物线上,则F点与P点重叠。
将x=2代入抛物线的解析式,算得P点坐标为(2,-1),即F点坐标为(2,-1),E点与F点关于x轴对称,其坐标为(2,1)。能构成三角形的Q点有两种情况,①Q在B点的左边,②Q在B点的右边
显然,∠ABC=45°,∠PBA=45°
第二类BQ∽BC,BP∽BA
利用相似三角形对应边的比值相等,得出两个Q值。
分别为(7/3,0)(0,0
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1)对称轴为x=2,设抛物线的方程为y=k(x-2)^2+n
直线L与x轴和y轴的交点为B(3,0)C(0,3),将这2个点对应的x,y值代入抛物线方程,得出k和n
k=1,n=-1
抛物线方程为y=1(x-2)^2-1=x^2-4x+3
2)设向下平移m个单位,此时的直线方程为L1:y=-x+3-m
用抛物线G方程的解析式-L1的解析式
得到新的方程
y=x^2-4x+3-(-x+3-m)
y=x^2-3x+m
(这个方程的y值表示的是对应x值时抛物线和直线的垂直距离)
当y=0时,抛物线与直线L1相交。
当只有一个公共点时,y=0有唯一一组解。
解的个数通过△来确定,当△=0时,该方程有唯一解。
==>
3^2-4*1*m=0
m=9/4
3)
因为E在抛物线的对称轴上,则EA=EB,且对称轴是平行四边形的一条对角线。
该平行四边形为菱形,且F点必须也在对称轴上,而同时F点在抛物线上,则F点与P点重叠。
将x=2代入抛物线的解析式,算得P点坐标为(2,-1),即F点坐标为(2,-1),E点与F点关于x轴对称,其坐标为(2,1)。
4)
能构成三角形的Q点有两种情况,①Q在B点的左边,②Q在B点的右边
显然,∠ABC=45°,∠PBA=45°
相似三角形的三个角对应相等。
若为第②种情况,△BPQ不能做出任何一个角等于45°(因为∠PBA=45°是∠QBP的补角,意味着∠QBP=135°,而其余两个锐角和为45°,所以任意单独的一个角都不能为45°),所以排除
对于第①种情况,又有2类相似
第一类BQ∽BA,BP∽BC
第二类BQ∽BC,BP∽BA
利用相似三角形对应边的比值相等,得出两个Q值。
分别为(7/3,0)(0,0)
希望能帮助到你。
不懂的欢迎追问
直线L与x轴和y轴的交点为B(3,0)C(0,3),将这2个点对应的x,y值代入抛物线方程,得出k和n
k=1,n=-1
抛物线方程为y=1(x-2)^2-1=x^2-4x+3
2)设向下平移m个单位,此时的直线方程为L1:y=-x+3-m
用抛物线G方程的解析式-L1的解析式
得到新的方程
y=x^2-4x+3-(-x+3-m)
y=x^2-3x+m
(这个方程的y值表示的是对应x值时抛物线和直线的垂直距离)
当y=0时,抛物线与直线L1相交。
当只有一个公共点时,y=0有唯一一组解。
解的个数通过△来确定,当△=0时,该方程有唯一解。
==>
3^2-4*1*m=0
m=9/4
3)
因为E在抛物线的对称轴上,则EA=EB,且对称轴是平行四边形的一条对角线。
该平行四边形为菱形,且F点必须也在对称轴上,而同时F点在抛物线上,则F点与P点重叠。
将x=2代入抛物线的解析式,算得P点坐标为(2,-1),即F点坐标为(2,-1),E点与F点关于x轴对称,其坐标为(2,1)。
4)
能构成三角形的Q点有两种情况,①Q在B点的左边,②Q在B点的右边
显然,∠ABC=45°,∠PBA=45°
相似三角形的三个角对应相等。
若为第②种情况,△BPQ不能做出任何一个角等于45°(因为∠PBA=45°是∠QBP的补角,意味着∠QBP=135°,而其余两个锐角和为45°,所以任意单独的一个角都不能为45°),所以排除
对于第①种情况,又有2类相似
第一类BQ∽BA,BP∽BC
第二类BQ∽BC,BP∽BA
利用相似三角形对应边的比值相等,得出两个Q值。
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2013-01-13
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显然,∠ABC=45°,∠PBA=45°
相似三角形的三个角对应相等。
若为第②种情况,△BPQ不能做出任何一个角等于45°(因为∠PBA=45°是∠QBP的补角,意味着∠QBP=135°,而其余两个锐角和为45°,所以任意单独的一个角都不能为45°),所以排除
对于第①种情况,又有2类相似
第一类BQ∽BA,BP∽BC
第二类BQ∽BC,BP∽BA
利用相似三角形对应边的比值相等,得出两个Q值。
分别为(7/3,0)(0,0)
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相似三角形的三个角对应相等。
若为第②种情况,△BPQ不能做出任何一个角等于45°(因为∠PBA=45°是∠QBP的补角,意味着∠QBP=135°,而其余两个锐角和为45°,所以任意单独的一个角都不能为45°),所以排除
对于第①种情况,又有2类相似
第一类BQ∽BA,BP∽BC
第二类BQ∽BC,BP∽BA
利用相似三角形对应边的比值相等,得出两个Q值。
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1)对称轴为x=2,设抛物线的方程为y=k(x-2)^2+n
直线L与x轴和y轴的交点为B(3,0)C(0,3),将这2个点对应的x,y值代入抛物线方程,得出k和n
k=1,n=-1
抛物线方程为y=1(x-2)^2-1=x^2-4x+3
2)设向下平移m个单位,此时的直线方程为L1:y=-x+3-m
用抛物线G方程的解析式-L1的解析式
得到新的方程
y=x^2-4x+3-(-x+3-m)
y=x^2-3x+m
(这个方程的y值表示的是对应x值时抛物线和直线的垂直距离)
当y=0时,抛物线与直线L1相交。
当只有一个公共点时,y=0有唯一一组解。
解的个数通过△来确定,当△=0时,该方程有唯一解。
==>
3^2-4*1*m=0
m=9/4
3)
因为E在抛物线的对称轴上,则EA=EB,且对称轴是平行四边形的一条对角线。
该平行四边形为菱形,且F点必须也在对称轴上,而同时F点在抛物线上,则F点与P点重叠。
将x=2代入抛物线的解析式,算得P点坐标为(2,-1),即F点坐标为(2,-1),E点与F点关于x轴对称,其坐标为(2,1)。能构成三角形的Q点有两种情况,①Q在B点的左边,②Q在B点的右边
显然,∠ABC=45°,∠PBA=45°
第二类BQ∽BC,BP∽BA
利用相似三角形对应边的比值相等,得出两个Q值。
分别为(7/3,0)(0,0
直线L与x轴和y轴的交点为B(3,0)C(0,3),将这2个点对应的x,y值代入抛物线方程,得出k和n
k=1,n=-1
抛物线方程为y=1(x-2)^2-1=x^2-4x+3
2)设向下平移m个单位,此时的直线方程为L1:y=-x+3-m
用抛物线G方程的解析式-L1的解析式
得到新的方程
y=x^2-4x+3-(-x+3-m)
y=x^2-3x+m
(这个方程的y值表示的是对应x值时抛物线和直线的垂直距离)
当y=0时,抛物线与直线L1相交。
当只有一个公共点时,y=0有唯一一组解。
解的个数通过△来确定,当△=0时,该方程有唯一解。
==>
3^2-4*1*m=0
m=9/4
3)
因为E在抛物线的对称轴上,则EA=EB,且对称轴是平行四边形的一条对角线。
该平行四边形为菱形,且F点必须也在对称轴上,而同时F点在抛物线上,则F点与P点重叠。
将x=2代入抛物线的解析式,算得P点坐标为(2,-1),即F点坐标为(2,-1),E点与F点关于x轴对称,其坐标为(2,1)。能构成三角形的Q点有两种情况,①Q在B点的左边,②Q在B点的右边
显然,∠ABC=45°,∠PBA=45°
第二类BQ∽BC,BP∽BA
利用相似三角形对应边的比值相等,得出两个Q值。
分别为(7/3,0)(0,0
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解:(1)当x=0时,y=3,当y=0时,-x+3=0,解得x=3,∴点B、C的坐标为B(3,0),C(0,3),又∵抛物线过x轴上的A,B两点,且对称轴为x=2,根据抛物线的对称性,∴点A的坐标为(1,0),∴
a+b+c=0
9a+3b+c=0
c=3
,解得
a=1
b=−4
c=3
,∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3;(2)设平移后的直线解析式为y=-x+b,则
y=−x+b
y=x2−4x+3
,∴x2-3x+3-b=0,∵它与抛物线G只有一个公共点,∴△=b2-4ac=(-3)2-4×1×(3-b)=9-12+4b=0,解得b=
3
4
,3-
3
4
=
9
4
,∴向下平移了
9
4
个单位;(3)∵A(1,0),B(3,0),∴AB=3-1=2,①当AB是边时,∵点E在对称轴上,平行四边形的对边平行且相等,∴EF=AB=2,∴点F的横坐标为0或4,当横坐标为0时,y=02-4×0+3=3,当横坐标为4时,y=42-4×4+3=3,∴点F的坐标为F1(0,3)或F2(4,3),此时点E的坐标为E1(2,3),此时AE=
12+32
=
10
,∴平行四边形的周长为:2(AB+AE)=2(2+
10
)=4+2
10
;②当AB边为对角线时,EF与AB互相垂直平分,∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1,∴此时点E、F的坐标为E2(2,1),F3(2,-1),∴AE=
12+12
=
2
,AF=
12+12
=
2
,∴平行四边形的周长为:2(AE+AF)=2(
2
+
2
)=4
2
,综上所述,点E、F的坐标分别为E1(2,3),F1(0,3)或F2(4,3),此时平行四边形的周长为4+2
10
,或E2(2,1),F3(2,-1),此时平行四边形的周长为4
2
;(4)连接PB,由y=x2-4x+3=(x-2)2-1,得P(2,-1),设抛物线的对称轴交x轴于点M,∵在Rt△PBM中,PM=MB=1,∴∠PBM=45°,PB=
2
.由点B(3,0),C(0,3)易得OB=OC=3,在等腰直角三角形OBC中,∠ABC=45°,由勾股定理,得BC=3
2
.假设在x轴上存在点Q,使得以点P,B,Q为顶点的三角形与△ABC相似.①PB与AB是对应边时,∵∠PBQ=∠ABC=45°,∴
BQ
BC
=
PB
AB
,即
BQ
3
2
=
2
2
,解得BQ=3,又∵BO=3,∴点Q与点O重合,∴Q1的坐标是(0,0),②PB与BC是对应边时,∵∠PBQ=∠ABC=45°,∴
QB
AB
=
PB
BC
,即
QB
2
=
2
3
2
,解得QB=
2
3
,∵OB=3,∴OQ=OB-QB=3-
2
3
=
7
3
,∴Q2的坐标是(
7
3
,0),③∵∠PBx=180°-45°=135°,∠BAC<135°,∴∠PBx≠∠BAC.∴点Q不可能在B点右侧的x轴上综上所述,在x轴上存在两点Q1(0,0),Q2(
7
3
,0),能使得以点P,B,Q为顶点的三角形与△ABC相似.
a+b+c=0
9a+3b+c=0
c=3
,解得
a=1
b=−4
c=3
,∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3;(2)设平移后的直线解析式为y=-x+b,则
y=−x+b
y=x2−4x+3
,∴x2-3x+3-b=0,∵它与抛物线G只有一个公共点,∴△=b2-4ac=(-3)2-4×1×(3-b)=9-12+4b=0,解得b=
3
4
,3-
3
4
=
9
4
,∴向下平移了
9
4
个单位;(3)∵A(1,0),B(3,0),∴AB=3-1=2,①当AB是边时,∵点E在对称轴上,平行四边形的对边平行且相等,∴EF=AB=2,∴点F的横坐标为0或4,当横坐标为0时,y=02-4×0+3=3,当横坐标为4时,y=42-4×4+3=3,∴点F的坐标为F1(0,3)或F2(4,3),此时点E的坐标为E1(2,3),此时AE=
12+32
=
10
,∴平行四边形的周长为:2(AB+AE)=2(2+
10
)=4+2
10
;②当AB边为对角线时,EF与AB互相垂直平分,∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1,∴此时点E、F的坐标为E2(2,1),F3(2,-1),∴AE=
12+12
=
2
,AF=
12+12
=
2
,∴平行四边形的周长为:2(AE+AF)=2(
2
+
2
)=4
2
,综上所述,点E、F的坐标分别为E1(2,3),F1(0,3)或F2(4,3),此时平行四边形的周长为4+2
10
,或E2(2,1),F3(2,-1),此时平行四边形的周长为4
2
;(4)连接PB,由y=x2-4x+3=(x-2)2-1,得P(2,-1),设抛物线的对称轴交x轴于点M,∵在Rt△PBM中,PM=MB=1,∴∠PBM=45°,PB=
2
.由点B(3,0),C(0,3)易得OB=OC=3,在等腰直角三角形OBC中,∠ABC=45°,由勾股定理,得BC=3
2
.假设在x轴上存在点Q,使得以点P,B,Q为顶点的三角形与△ABC相似.①PB与AB是对应边时,∵∠PBQ=∠ABC=45°,∴
BQ
BC
=
PB
AB
,即
BQ
3
2
=
2
2
,解得BQ=3,又∵BO=3,∴点Q与点O重合,∴Q1的坐标是(0,0),②PB与BC是对应边时,∵∠PBQ=∠ABC=45°,∴
QB
AB
=
PB
BC
,即
QB
2
=
2
3
2
,解得QB=
2
3
,∵OB=3,∴OQ=OB-QB=3-
2
3
=
7
3
,∴Q2的坐标是(
7
3
,0),③∵∠PBx=180°-45°=135°,∠BAC<135°,∴∠PBx≠∠BAC.∴点Q不可能在B点右侧的x轴上综上所述,在x轴上存在两点Q1(0,0),Q2(
7
3
,0),能使得以点P,B,Q为顶点的三角形与△ABC相似.
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