Question

定义在（-1，1）上的函数f(x)满足：对任意x,y∈(-1,1),都有f(x)+f(y)=f((x+y)/(1+xy

⑴求证：函数f(x)是奇函数
⑵若当x∈(-1,0)是，有f(x)>0,求证：f(x)在(-1,1)上是减函数
(3)若f(1/5)=-1/2,试求f(1/2)-f(1/11)-f(1/19)的值注：关键是第三小题不会

Answer 1

【解】
1、 首先，取x=y=0；则有：
f(0)+f(0)=f(0) 所以：f(0)=0;
取y=-x得到：
f(x)+f(-x)=f(0)=0;
所以：f(-x)=-f(x);
所以：为奇函数；
2、取x>y;由于f(x)为奇函数，所以：f(-y)=-f(y);
所以：
f(x)-f(y)=f(x)+f(-y)
=f( (x-y)/(1-xy) )
=-f((y-x)/(1-xy) )
由于1>x>y>-1,所以：
(y-x)/(1-xy)<0;
所以：f((y-x)/(1-xy) )>0;
所以：
f(x)-f(y)=-f((y-x)/(1-xy) )<0;
f(x)<f(y);
所以：f(x)在（-1,1)上为减函数。
3.
令x=1/n+1，y=1/n+2，由f(x)+f(y)=f(x+y／1+xy）和函数为奇函数易得：
f(1/n+1)-f(1/n+2)=f(1/n+1)+f【-(1/n+2)】=f(1/n^2+3n+1)

n=1时有f(1/2)-f(1/3)=f(1/5)
n=2时有f(1/3)-f(1/4)=f(1/11)
n=3时有f(1/4)-f(1/5)=f(1/19)
上面三式相加得到:f(1/2)-f(1/5)=f(1/5)+f(1/11)+f(1/19)
即有f(1/2)-f(1/11)-f(1/19)=2f(1/5)=-1