Question

已知椭圆C：x2/a2+y2/b2=1的两个焦点分别是F1(-1，0),F2(1,0)，点p为椭圆上一个点，

丨PF1丨+丨PF2丨=2根号5
1，求椭圆C的标准方程
2，已知直线l斜率为1，且过点P（2，-1），若直线l与双曲线E相交于A,B两点，AB的中点为（4,1），且双曲线E的两个焦点为椭圆C在x轴上的两个顶点，求双曲线E的标准方程
3，在双曲线E上是否存在一点Q，使Q到其两条渐近线的距离之积等于椭圆C的短轴长，若存在，求点Q的坐标

Answer 1

（1）
a=sqrt(5)
c=1
b=2
椭圆标准方程是x^2/5+y^2/4=1

（2）
直线l的方程：y+1=x-2-->y=x-3
设双曲线方程是x^2/A^2-y^2/B^2=1
双曲线的半焦距C=sqrt(5)=sqrt(A^2+B^2)
设直线l和双曲线交于S(x1,y1),T(x2,y2)两点
则用点差法求出(x1-x2)(x1+x2)/A^2-(y1-y2)(y1+y2)/B^2=0
也就是B^2/A^2=(y1-y2)(y1+y2)/(x1-x2)(x1+x2)
由于ST的中点是(4,1)，所以y1+y2=2，x1+x2=8
又由于直线的斜率是1，所以(y1-y2)/(y1+y2)=1
代入，得到B^2/A^2=1/4。所以A^2=4，B^2=1
双曲线方程是x^2/4-y^2=1

（3）
椭圆的短轴长是2b=4.
双曲线的两条渐近线是y=+/-(1/2)*x
设点Q(x,y)，应用点到直线距离方程，有：
|x+2y||x-2y|/5=4
由双曲线方程知道(x-2y)和(x+2y)同号
所以上式化为x^2-4*y^2=20
直接违背了双曲线方程x^2/4-y^2=1
所以不可能存在这样的点Q

Answer 2

（1）∵丨PF1丨+丨PF2丨=2根号5=2a 则a=根号5 c=1 所以b=2 方程为x2/5+y2/4= 1