Question

已知函数f(x)=a-2的x次方+1分之1,求证:1,不论a为任何实数,f(x)总是增函数 2,确定a的值，使f(x)为奇函数，

Answer 1

1、可用层层递进法。
2的x次方是增函数，所以2的x次方+1也是增函数。则（2的x次方+1）分之1为减函数，
那么-（2的x次方+1）分之1为增函数，增函数后加上任一实数a仍为增函数。所以不论a 为任何实数，f（x）总是增函数。
也可用定义法，设x1>x2,然后判断f(x1)-f(x2)的正负。
f(x1)-f(x2)=（2的x2次方+1分之1）-（2的x1次方+1分之1）
=（2的x1次方-2的x2次方）/(2的x2次方+1)(2的x1次方+1)
分母显然大于0，分子根据指数函数的单调性判断易知也大于0.所以f(x1)-f(x2)>0
因此，不论a为任何实数,f(x)总是增函数
2、首先明确奇函数的概念，为f（-x）=-f（x）
f（-x）=a-1/(2^(-x)+1)=a-(2^x）/(2^x+1)
-f(x)=1/(2^(x)+1)-a
令a-(2^x）/(2^x+1)=1/(2^(x)+1)-a得2a=(2^x）/(2^x+1)+1/(2^(x)+1)=1
则a=1/2
所以a=1/2时，f（x）为奇函数

追问

求函数单调区间应该怎么来求 ？

追答

本题中函数在R上是增函数，所以函数在R上单调递增。即单调递增区间为（-无穷，+无穷）。

Answer 2

证明：
(1)
【用定义法证明函数的单调性】
任取x1，x2∈R，且x1＜x2
则f(x1)－f(x2)＝a－[2/(2^x1＋1)]－a＋[2/(2^x2＋1)]
＝[2(2^x1－2^x2)]/[(2^x1＋1)(2^x2＋1)]
∵y＝2^x在(－∞，＋∞)上递增，而x1＜x2
∴2^x1＜2^x2
∴(2^x1)－(2^x2)＜0
又(2^x1＋1)(2^x2＋1)＞0
∴f(x1)－f(x2)＜0
即f(x1)＜f(x2)
∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数

(2)
f(x)为奇函数，则f(0)＝a－[2/(2^0＋1)]＝a－1＝0
∴a＝1
经检验，a＝1时，f(x)是奇函数.