Question

若α,β是关于方程x²+2ax+2=0的两个实数根,则α²+β²的最小值是

Answer 1

解：根据韦达定理：α+β=-2a，αβ=2
∴α²+β²=(α+β)²-2αβ=4a²-4
而判别式=4a²-8≥0
∴a²≥2
∴α²+β²=(α+β)²-2αβ=4a²-4≥4
∴α²+β²有最小值4

不懂可追问，有帮助请采纳，谢谢！

追问

可是正确答案是2

追答

要么答案错了，要么你题目抄错了。。。

追问

哦，是啊，是α，β是关于方程X²+2ax+a+2=0的两个实数根，则α²+β²的最小值是？那麻烦您在解一下吧，我对这种题目是在头疼。。

追答

解：根据韦达定理：α+β=-2a，αβ=a+2
而判别式=4a²-4(a+2)≥0
∴a≥2或a≤-1
∴α²+β²=(α+β)²-2αβ=4a²-2a-4=4(a²-a/2+1/16)-17/4=4(a-1/4)²-17/4
根据二次函数图像可以看出，最小值为a=-1时
此时最小值为：4(-1)²-2*(-1)-4=2

Answer 2

根据韦达定理：α+β=-2a，αβ=2
∴α²+β²=(α+β)²-2αβ=4a²-4
但是要考虑a的取值范围，要方程有两根
则△=(2a)²-4*2>=0
a²>=2
则α²+β²=(α+β)²-2αβ=4a²-4>=4*2-4=4
即当α²=2时，α²+β²有最小值4

Answer 3

αβ=2
不妨设α,β>0（否则a取成-a就行了）
所以α²+β²>=2αβ=4