1.当x满足什么条件时，|x-1|+|x-2|有最小值，并求出最小值。 |x-1|+|x-2|-|x-3|?|x-1|+|x-2|-|x-3|-|x-4|?
由绝对值的几何意义知∣x-1∣表示x到1的距离，∣x-2∣表示x到2的距离。
例1、如上图，设点A，点B表示1，2，点C表示x，点C可移动。
当点C在A的左侧时，∣x-1∣＝CA，∣x-2∣＝CB>1；
当点C在A的右侧时，∣x-1∣＝CA>1，∣x-2∣＝CB；
当点C在A、B之间时，∣x-1∣＝CA，∣x-2∣＝CB；有CA+CB＝AB＝1.
显然，要使∣x-1∣+∣x-2∣最小，点C应在点A与点B两点之间，即1≤x≤2。
这时，∣x-1∣+∣x-2∣＝（x-1）+［－（x-2）］＝x－1+2－x＝1
2、 求∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣的最小值。
根据绝对值的几何意义知，∣x-1∣，∣x-2∣，∣x-3∣分别表示x到1，x到2，x到3的距离。
由例1的分析知，∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣是在x处于1和3之间（包括1和3）时有最小值，即当1≤x≤3时。 又因为2处于1和3之间，所以∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣的最小值是在∣x-1∣+∣x-3∣取最小值的基础上∣x-2∣取最小值，即∣x-2∣＝0，则x＝2.
这时，∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣＝∣2-1∣+∣2-2∣+∣2-3∣＝2
3 、求∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣+∣x-4∣的最小值。
根据绝对值的几何意义知，∣x-1∣，∣x-2∣，∣x-3∣，∣x-4∣分别表示x到1，x到2，x到3 ，x到4的距离。
由例1的分析知，∣x-1∣+∣x-4∣是在1≤x≤4之间有最小值，∣x-2∣+∣x-3∣是在2≤x≤3之间有最小值。
所以∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣+∣x-4∣是在2≤x≤3之间有最小值。
这时，∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣+∣x-4∣＝x-1+x-2+［－（x-3）］+［－（x-4）］=4.
好乱啊
对于求│X－a1│＋│X－a2│＋│X－a3│＋│X－an│型代数式的最小值，有如下结论可以应用：当an是奇数时，在X=a(n+1)/2时，代数式的值最小；当an是偶数时，在an/2≤X≤a(n+1)/2时代数式的值最小
