Question

如图,已知抛物线经过坐标原点,与x轴的另一个焦点为A,且顶点M的坐标为(1,2)

（1）求该抛物线的解析式
（2）现将它向右平移m（m＞0）个单位，所得抛物线与x轴交于C、D两点，与原抛物线交于点P，△CDP的面积为S，求S关于m的关系式
（3）当m=2时，点Q为平移后的抛物线上一动点，是否存在这样的⊙Q，使得⊙Q与两坐标轴都相切？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由

Answer 1

解：（1）∵抛物线顶点坐标为（1，2），
∴设抛物线解析式为y=a（x-1）2+2，
又∵抛物线经过原点，
∴a（0-1）2+2=0，
解得a=-2，
∴抛物线的解析式为y=-2（x-1）2+2；

（2）抛物线向右平移m个单位，则顶点坐标为（1+m，2），
∴平移后的抛物线解析式为y=-2（x-1-m）2+2，
与原抛物线解析式联立得，y=-2(x-1)2+2y=-2(x-1-m)2+2​，
解得x=
m2+1y=-
m22+2​，
又∵原抛物线的顶点坐标为（1，2），
∴点A、O关于直线x=1对称，
∴点A的坐标为（2，0），
∴AO=2，
∴CD=AO=2，
①0＜m＜2时，点P在第一象限，
S=12×2×（-12m2+2）=-12m2+2，
②m＞2时，点P在第四象限，
S=12×2×[-（-12m2+2）]=12m2-2；
综上所述，S关于m的关系式为S=-
12m2+2(0＜m＜2) 12m2-2(m＞2)​；

（3）根据（2），当m=2时，平移后的抛物线解析式为y=-2（x-1-2）2+2=-2（x-3）2+2=-2x2+12x-16，
假设存在⊙Q，使得⊙Q与两坐标轴都相切，设点Q的坐标为（x，-2x2+12x-16），
则x=|-2x2+12x-16|，
∴x=-2x2+12x-16①或x=-（-2x2+12x-16）②，
整理①得，2x2-11x+16=0，
△=112-4×2×16=121-128=-7＜0，
方程无解，
整理②得，2x2-13x+16=0，
解得x=-b±
b2-4ac2a=13±
132-4×2×162×2=13±
414，
∴当x=13-
414时，y=-13+
414，
当x=13+
414时，y=-13-
414，
∴点Q的坐标为（13-
414，-13+
414）或（13+
414，-13-
414）．