Question

已知向量a=(2,1)，A(1,0)，B(cosθ,t)

已知向量a=(2,1)，A(1,0)，B(cosθ,t)
(1)若向量a∥向量AB，且|向量AB|=√5|向量OA|，求向量OB的坐标
(2)若向量a∥向量AB,求函数f(θ)=cos²θ-cosθ+t²的最小值

Answer 1

1
|OA|=1，向量AB=(cosθ-1,t)，所以：|AB|^2=(cosθ-1)^2+t^2=5 (1)
又向量a∥向量AB，故：a dot AB=|a|*|AB|*cos(0)=5，或者a dot AB=|a|*|AB|*cos(π)=-5 (2)
而a dot AB=2(cosθ-1)+t，所以：cosθ-1=(5-t)/2或cosθ-1=(-5-t)/2
将cosθ-1=(5-t)/2代入(1)得：t^2-2t+1=0，所以t=1，进而得cosθ=3(不合题意，舍去)
将cosθ-1=(-5-t)/2代入(1)得：t^2+2t+1=0，所以t=-1，进而得cosθ=-1
所以：向量OB=(-1,-1)
2
由(2)可知，不论向量a和向量AB方向相同或相反，都存在：(2(cosθ-1)+t)^2=5*((cosθ-1)^2+t^2)
即：4t^2-4t*(cosθ-1)+(cosθ-1)^2=0，即：(2t-cosθ+1)^2=0，即：cosθ=2t+1
所以-1≤2t+1≤1，即：-1≤t≤0。而：g(t)=cos²θ-cosθ+t²=5t^2+2t=5(t+1/5)^2-1/5
在-1≤t≤0时，当t=-1/5时，函数取得最小值：-1/5，即说明f(θ)的最小值是-1/5

Answer 2

（1）向量AB=(cosθ,t)-(1,0)=(cosθ-1,t)
因为向量a∥向量AB
所以2/(cosθ-1)=1/t
即cosθ-1=2t
cosθ=2t+1
因为|向量AB|=√5|向量OA|
两边同时平方，得
|向量AB|²=5|向量OA|²
向量OA=(1,0)
即(cosθ-1)²+t²=5
cosθ²-2cosθ+1+t²=5 ②
①代入②，得
(2t+1)²-2(2t+1)+1+t²=5
4t²+4t+1+t²+1-4t-2=5
5t²=5
t=-1或t=1
所以cosθ=-1或3（3＞1，舍去）
所以cosθ=-1
所以t=-1
所以B(-1,-1)
因此向量OB的坐标为(-1,-1)
（2）由（1）知，cosθ=2t+1
所以f(θ)=cos²θ-cosθ+t²
=(2t+1)²-2t-1+t²
=4t²+4t+1-2t-1+t²
=5t²+2t
当t=0时，f(θ)最小，f(θ)min=0