Question

已知数列|An|中,Sn+1=4An+2,A1=1,设Bn=An+1^-2An,求证:|Bn|是等比数列

Answer 1

S(n+1)=4an+2
Sn=4a(n-1)+2
两式相减，得a(n+1)=4an-4a(n-1)
得a(n+1)-2an=2(an-a(n-1))
即{a(n+1)-2an}为公比为2的等比数列

下面是{an}的通项，想看的看看
又S2=4a1+2=6,S2=a1+a2,所以a2=5
所以a(n+1)-2an=3*2^(n-1)
等式两边同除2^(n+1)，得a(n+1)/2^(n+1)-an/2^n=3/4
所以{an/2^n}为等差数列，首项a1/2=1/2，公差为3/4
an/2^n=1/2+3/4(n-1)=(3n-1)/4
an=(3n-1)2^(n-2)

Answer 2

s(n+1)=4a(n)+2, 4a(1)+2=4+2=s(1+1)=a(1)+a(2)=1+a(2), a(2)=5.
s(n+2)=4a(n+1)+2,
a(n+2)=s(n+2)-s(n+1)=4a(n+1)-4a(n),
a(n+2)-2a(n+1)=2[a(n+1)-2a(n)].
{a(n+1)-2a(n)}是首项为a(2)-2a(1)=5-2=3,公比为2的等比数列。
a(n+1)-2a(n)=3*2^(n-1),

b(n)=a(n+1)-2a(n)=3*2^(n-1),
{b(n)=a(n+1)-2a(n)}是首项为3，公比为2的等比数列。