Question

关于定积分的一道题，实在不会做，求解。如图所示。

Answer 1

∫ (-1,1) (sinx+2)√(1-x²) dx
=∫ (-1,1) sinx√(1-x²) dx+ 2∫ (-1,1) √(1-x²) dx
sinx√(1-x²)是奇函数，则在对称区间[-1,1]上积分为0
=2∫ (-1,1) √(1-x²) dx
=4∫ (0,1) √(1-x²) dx 三角换元 x=sina
=4∫ (0,π/2) cosa dsina
= 4∫ (0,π/2) cos²a da
=2∫ (0,π/2) (cos2a+1) da
=2 (1/2sin2a+a) |(0,π/2)
=π

Answer 2

括号展开后分成两个积分，前一个是奇函数在对称区间上的积分，值为0； 后一个按几何意义是上半单位圆面积的2倍，所以，结果为π。

Answer 3

由分配律把被积函数分成两项， 其中有sinx的一项为奇函数，积分区间[-1,1]关于原点对称， 从而积分是零， 而另一部分由定积分的几何意义知：是一个半径为1的圆的面积， 结果是π.