Question

如图,将△AOB置于平面直角坐标系中,其中点O为坐标原点,点A的坐标为(3,0),∠ABO=60

如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点，点A的坐标为（3，0），∠ABO=60度．
（1）若△AOB的外接圆与y轴交于点D，求D点坐标．
（2）若点C的坐标为（-1，0），试猜想过D，C的直线与△AOB的外接圆的位置关系，并加以说明．
（3）二次函数的图象经过点O和A且顶点在圆上，求此函数的解析式．

Answer 1

解：（1）、分别作线段AB、OA、OB的垂直平分线，三线的交点即为△AOB的外接圆圆心P。
连接PO、PA 作PE⊥OA交OA于点E
∵∠ABO=60°∴∠APO=120°
∵PE⊥OA OA=3∴OE=1.5 ∠EPO=60°
∵tan60°=OE/PE=√3 ∴PE=√3/2
∴P点的坐标为（1.5，√3/2）
（2）、连接PD则PD=PO
∵∠POE=30°∴∠POD=60°，
∴△DOP为等边三角形，即：PD=PO=OD
∵OE²+PE²=PO²∴PO=√1.5²+(√3/2)²=√3
∴OD=√3
∴D点的坐标为（0，√3）
（3）设直线CD的函数解析式为：y=kx+b
∵CD是⊙P的切线∴PD⊥CD ∴∠CDO=30°
∵tan30°=CO/DO=√3 /3∴CO=√3×√3/3=1
∴C点的坐标为（-1，0）
把（-1，0）、（0，√3）代入y=kx+b中，解得：k= √3 b=√3
∴直线CD的函数解析式为：y=√3x+√3