Question

设函数在a,b上有二阶导数,且f''(x)>0,则有：

f((a+b)/2)≤(1/(b-a))\int_{a}^{b}f(x)dx≤1/2(f(a)+f(b))

结合上面条件和结论用几何意义进行分析和解释并作图

Answer 1

几何意义，就是说f(x)是凸函数，你查下凸函数的性质就明白了。

先证明：2f((a+b)/2)<=f((a+b)/2+t)+f((a+b)/2-t)<=f(a)+f(b) (这里0<t<(b-a)/2)

左边，f((a+b)/2+t)+f((a+b)/2-t)-2f((a+b)/2)
=(f((a+b)/2+t)-f((a+b)/2))-(f(a+b)/2-f((a+b)/2-t)
=t*f'(p)-t*f'(q) （拉格朗日中值定理）
=t*(f'(p)-f'(q)) （p比q大，而且f''(x)>0即f'(x)递增）
>=0

右边，f(a)+f(b)-f((a+b)/2+t)-f((a+b)/2-t)
=(f(b)-f((a+b)/2+t))-(f((a+b)/2-t)-f(a))
=((b-a)/2-t)*f'(p)-((b-a)/2-t)*f'(q) （拉格朗日中值定理）
=((b-a)/2-t)*(f'(p)-f'(q)) （p比q大，而且f''(x)>0即f'(x)递增）
>=0

上面不等式的意义是：以区间中心为轴，任意一对数的f之和的平均，都比中间数f((a+b)/2)要大，但又小于区间端点f(a)f(b)的平均值。

有了上面的不等式，两边积分一下（对t从0到(b-a)/2积分，正好就是\int_{a}^{b}f(x)dx），就证出来了。