Question

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1,A是椭圆长轴的一个端点,B是椭圆短轴的一个端点,F是椭圆的一个焦点

若AB垂直于BF，则该椭圆的离心率？

Answer 1

^2是平方，设离心率为e (0<e<1)
1° a>b，则椭圆焦点在x轴上
由于椭圆关于坐标轴对称，不妨设A在x轴正半轴，B在y轴正半轴
则由于∠ABF=90°，A、F在y轴异侧，即F为左焦点
若设焦距为f，则A(a，0)，B(0，b)，F(-f，0)
AB斜率k1=(b-0)/(0-a)=-b/a，BF斜率k2=(0-b)/(-f-0)=b/f
由于AB⊥BF，所以k1k2=-1，即-b/a*b/f=-1
b^2/=af，而a^2-b^2=f^2，即b^2=a^2-f^2
所以a^2-f^2=af，即1-(f/a^2)=f/a，即e^2+e-1=0，解得e=(-1±√5)/2
由于e>0，所以取e=(-1+√5)/2
2° a<b，则椭圆焦点在y轴上
由于椭圆关于坐标轴对称，不妨设A在y轴正半轴，B在x轴正半轴
则由于∠ABF=90°，A、F在x轴异侧，即F为下焦点
若设焦距为f，则A(0，b)，B(a，0)，F(0，-f)
AB斜率k1=(0-b)/(a-0)=-b/a，BF斜率k2=(-f-0)/(0-a)=f/a
由于AB⊥BF，所以k1k2=-1，即-b/a*f/a=-1
a^2/=bf，而b^2-a^2=f^2，即a^2=b^2-f^2
所以b^2-f^2=bf，即1-(f/b^2)=f/b，即e^2+e-1=0，解得e=(-1±√5)/2
由于e>0，所以取e=(-1+√5)/2

综上所述，椭圆离心率为(-1+√5)/2