Question

急！求解一道微积分应用题！

一个装油的倒立圆锥型油罐 其高为12m 半径为6m 油重55kg每立方米。如果在油罐里只有一半体积的油，请问把油从油罐里弄到在油罐上方3m的另一个油罐里，所做的功是多少？

Answer 1

先求一半体积的高度y1
2π(ry1/h)²y1/3=πr²h/3，可解得y1
y高度处圆片面积为π(ry/h)²
该高度dy厚度圆柱内油提升到油罐上方3m处所做的功为
dW=πρg(ry/h)²(h-y+3)dy
所以
W=∫πρg(ry/h)²(h-y+3)dy
积分区间是[0,y1]

Answer 2

我觉得，做功是因为油的重心被提高了，而转移前后，油的初末动能均为0，油与器壁的摩擦导致的内能改变和热传递导致的内能改变忽略不计。但是重心未必是提高3m。因为另一个圆锥体的形状未知，如果与原先相同，则克服重力做功为mgh，否则不等于mgh。