Question

线性代数问题。急

设 η1， η2，η3……ηt是非齐次线性方程组AX=0的解，证明：k1η1+k2η2……+ktηt也是AX=b的一个解的充分必要条件是k1+k2+k3……+kt=1
原题有一点错，应是：设 η1， η2，η3……ηt是非齐次线性方程组AX=b的解，证明：k1η1+k2η2……+ktηt也是AX=b的一个解的充分必要条件是k1+k2+k3……+kt=1

Answer 1

这个挺容易证明的啊，不过如楼上说的，题目应该是“η1， η2，η3……ηt是非齐次线性方程组AX=b的解”。直接代入就行了
充分性：k1+k2+k3……+kt=1 则 k1η1+k2η2……+ktηt也是AX=b的一个解
证明： 由η1， η2，η3……ηt是非齐次线性方程组AX=b的解，则
Aη1 =b，...，Aηt=b

从而A（k1η1+k2η2……+ktηt）= k1Aη1+...+ktAηt = k1b+...+ktb = (k1+k2+k3……+kt)b=b
即k1η1+k2η2……+ktηt也是AX=b的一个解，充分性得证

必要性： k1η1+k2η2……+ktηt是AX=b的一个解，则k1+k2+k3……+kt=1
由η1， η2，η3……ηt是非齐次线性方程组AX=b的解，则
Aη1 =b，...，Aηt=b，
又 k1η1+k2η2……+ktηt是AX=b的一个解，
则A( k1η1+k2η2……+ktηt)=b
即A（k1η1+k2η2……+ktηt）= k1Aη1+...+ktAηt = k1b+...+ktb = (k1+k2+k3……+kt)b=b
从而k1+k2+k3……+kt=1
必要性也得证。

综上，k1η1+k2η2……+ktηt也是AX=b的一个解的充分必要条件是k1+k2+k3……+kt=1

Answer 2

i = 1 ~ n

ηi 是 A.X = b 的解
那么 A.ηi = b

k1 η1 + k2 η2 + ... + kt ηt 是 A.X = b 的一个解
<=> A.(k1 η1 + k2 η2 + ... + kt ηt) = b
<=> k1 A.η1 + k2 A.η2 + ... + kt A.ηt = b
<=> k1 b + k2 b + ... + kt b = b
<=> (k1 + k2 + ... + kt) b = b
<=> k1 + k2 + ... + kt = 1

Answer 3

你的题目应该写错啦，Ax=0是其次方程

追问

应该系：设 η1， η2，η3……ηt是非齐次线性方程组AX=b的解，证明：k1η1+k2η2……+ktηt也是AX=b的一个解的充分必要条件是k1+k2+k3……+kt=1