Question

y'+y=e^x 求一阶线性微分方程的通解！急！！

用常数变易法求解！

Answer 1

设y=C(x)e^(-∫dx)=C(x)e^(-x)
代入原微分方程
C‘(x)e^(-x)-C(x)e^(-x)+C(x)e^(-x)=e^x
C‘(x)e^(-x)=e^x
C‘(x)=e^(2x)
C(x)=∫e^(2x)dx=(1/2)e^(2x)+C
所以原微分方程的通解为
y=[(1/2)e^(2x)+C]e^(-x)=(1/2)e^(x)+Ce^(-x)，C∈R

Answer 2

设y'+y=0,
dy/dx=-y,
dy/y=-dx,
lny=-x+lnC1,
y=C1e^(-x),
设y=v*e^(-x),
dy/dx=dv/dx*e^(-x)-ve^(-x),
代入原方程,
dv/dx*e^(-x)-ve^(-x)+ve^(-x)=e^x,
dv/dx*e^(-x)=e^x,
dv/dx=e^(2x),
dv=e^(2x)dx,
∴v=e^(2x)/2+C,
y=[e^(2x)/2+C]*e^(-x)
∴通解为:y=(1/2)e^x+Ce^(-x).

Answer 3

设y=C(x)e^(-∫dx)=C(x)e^(-x)
代入原方程
C‘(x)e^(-x)-C(x)e^(-x)+C(x)e^(-x)=e^x
C‘(x)e^(-x)=e^x
C‘(x)=e^(2x)
C(x)=∫e^(2x)dx=(1/2)e^(2x)+C
所以原方程的解为
y=[(1/2)e^(2x)+C]e^(-x)=(1/2)e^(x)+Ce^(-x)