Question

12外观相同的小球，其中11个的重量是完全相同的

12外观相同的小球，其中11个的重量是完全相同的剩余的一个的重量与其他的不相同，用一个天平，称3次，把那个不同的小球找出来
①：11个完全相同，只有一个与其他的重量不一样
②：只能称3次
③：不能用其他的辅助工具

Answer 1

平均分成a，b，c三组
各球分别为
a1，a2，a3，a4
b1——b4
c1——c4
第一次将a组放左边与b组放右边，相称，有3种情况：
平衡，向左边倾斜（a重b轻），向右边倾斜（b重a轻）
平衡的情况比较简单，不说了
向左边倾斜则将a1，a2，b1，b2，b3放在天平的左边，b4和c组放在右边，看看天平的情况：
3种情况：1，天平平衡；2天平向左倾斜；3天平向右倾斜
第一种情况，说明小球在a3，a4中（简单就不说了）
第2种情况，说明小球在a1，a2，b4中，且是a1重a2重或者b4轻，将a1，a2相称，重的那个就是我们要找的小球，若两球平衡则是b4
第3种情况，说明小球在b1，b2，b3中，说明是b1，b2或者b3轻，将b1，b2相称，轻的那个就是我们要找的小球，若两球平衡则是b3

第一次测量时向右边倾斜情况下的分析和左边倾斜是一样的，自己推理一下吧~~~~~~~~~

Answer 2

平均分成a，b，c三组
各球分别为
a1，a2，a3，a4
b1——b4
c1——c4
第一次将a组放左边与b组放右边，相称，有3种情况：
平衡，向左边倾斜（a重b轻），向右边倾斜（b重a轻）
平衡的情况比较简单，不说了
向左边倾斜则将a1，a2，b1，b2，b3放在天平的左边，b4和c组放在右边，看看天平的情况：
3种情况：1，天平平衡；2天平向左倾斜；3天平向右倾斜
第一种情况，说明小球在a3，a4中（简单就不说了）
第2种情况，说明小球在a1，a2，b4中，且是a1重a2重或者b4轻，将a1，a2相称，重的那个就是我们要找的小球，若两球平衡则是b4
第3种情况，说明小球在b1，b2，b3中，说明是b1，b2或者b3轻，将b1，b2相称，轻的那个就是我们要找的小球，若两球平衡则是b3

第一次测量时向右边倾斜情况下的分析和左边倾斜是一样的推理方法。

Answer 3

解：
设标准小球质量为w，将12个小球依次编号为a1,a2,...,a12，分组为：
a1,a2 ,a3 ,a4 为A1组
a5,a6 ,a7 ,a8 为A2组
a9,a10,a11,a12 为A3组

==（第一次）1选定任意2组--取A1,A2进行比较，如果
1 A1=A2
则A1/A2组8个小球a1,a2,...,a8均为正常小球，质量均为w
则A3组为异常球组
重新分组为:
B1:a9 a10
B2:a11 a1
B3:a12 a2

====（第二次）取B2 B3 任意1组--B2 与 B1 进行比较，如果
1.1 B1=B2 则 B1 B2 为正常组，B3(a11,a2)为异常组,因为a2为正常球，所以异常球为a12
1.2 B1<B2 或者 B1>B2,则 B3 为正常组，以B1<B2为例说明
表达式 EXP0:a9+a10 < a11 +a1

========（第三次）取a9 a10 进行比较,如果
1.2.1 a9 = a10 则 a11 为异常球
1.2.2 a9 != a10 则 a11 为正常球，根据 EXP0,异常球质量小于正常球，即
a9 与 a10 轻者为异常球

2 A1<A2 或者 A1>A2,则A3为正常组;以A1<A2说明：
得表达式1: EXP1: a1+a2+a3+a4<a5+a6+a7+a8
表达式2: EXP2: a9=a10=a11=a12=w
重新分组为:
B1:a1,a2,a3
B2:a4,a5,a9
B3:a6,a7,a8

====（第二次）取B1或B3与B2比较，以B1为例说明:

2.1 B1<B2 则B3为正常组
即：
EXP4: a1+a2+a3 < a4+a5+a9
EXP5: a6=a7=a8=w
其中 a9=w
关联 EXP1: a1+a2+a3+a4< a5+a6+a7+a8
相减 a4 < -a4 + 2w
a4 < w
则异常球为 a4
2.2 B1>B2 则B3为正常组
即：
EXP6: a1+a2+a3 > a4+a5+a9
EXP7: a6=a7=a8=w
其中 a9=w
关联 EXP1: a1+a2+a3+a4< a5+a6+a7+a8
转换 EXP1: -a1-a2-a3-a4> -a5-a6-a7-a8
相加 -a4> a4-2w
a4> w
则异常球为 a4

2.3 B1=B2 则B3为异常组
得表达式3: EXP3: a1=a2=a3=a4=a5=w
关联 EXP1: a1+a2+a3+a4<a5+a6+a7+a8
得 3w<a6+a7+a8
即推出如下结论
1) 异常球质量大于正常球
2) 异常球在B3(a6,a7,a8)中
========(第三次)比较任意的两个--a6,a7,如果
a6=a7，则异常球为 a8
a6<a7, 则异常球为 a7
a6>a7, 则异常球为 a6

Answer 4

解：
设标准小球质量为w，将12个小球依次编号为a1,a2,...,a12，分组为：
a1,a2 ,a3 ,a4 为A1组
a5,a6 ,a7 ,a8 为A2组
a9,a10,a11,a12 为A3组

==（第一次）1选定任意2组--取A1,A2进行比较，如果
1 A1=A2
则A1/A2组8个小球a1,a2,...,a8均为正常小球，质量均为w
则A3组为异常球组
重新分组为:
B1:a9 a10
B2:a11 a1
B3:a12 a2

====（第二次）取B2 B3 任意1组--B2 与 B1 进行比较，如果
1.1 B1=B2 则 B1 B2 为正常组，B3(a11,a2)为异常组,因为a2为正常球，所以异常球为a12
1.2 B1<B2 或者 B1>B2,则 B3 为正常组，以B1<B2为例说明
表达式 EXP0:a9+a10 < a11 +a1

========（第三次）取a9 a10 进行比较,如果
1.2.1 a9 = a10 则 a11 为异常球
1.2.2 a9 != a10 则 a11 为正常球，根据 EXP0,异常球质量小于正常球，即
a9 与 a10 轻者为异常球

2 A1<A2 或者 A1>A2,则A3为正常组;以A1<A2说明：
得表达式1: EXP1: a1+a2+a3+a4<a5+a6+a7+a8
表达式2: EXP2: a9=a10=a11=a12=w
重新分组为:
B1:a1,a2,a3
B2:a4,a5,a9
B3:a6,a7,a8

====（第二次）取B1或B3与B2比较，以B1为例说明:

2.1 B1<B2 则B3为正常组
即：
EXP4: a1+a2+a3 < a4+a5+a9
EXP5: a6=a7=a8=w
其中 a9=w
关联 EXP1: a1+a2+a3+a4< a5+a6+a7+a8
相减 a4 < -a4 + 2w
a4 < w
则异常球为 a4
2.2 B1>B2 则B3为正常组
即：
EXP6: a1+a2+a3 > a4+a5+a9
EXP7: a6=a7=a8=w
其中 a9=w
关联 EXP1: a1+a2+a3+a4< a5+a6+a7+a8
转换 EXP1: -a1-a2-a3-a4> -a5-a6-a7-a8
相加 -a4> a4-2w
a4> w
则异常球为 a4

2.3 B1=B2 则B3为异常组
得表达式3: EXP3: a1=a2=a3=a4=a5=w
关联 EXP1: a1+a2+a3+a4<a5+a6+a7+a8
得 3w<a6+a7+a8
即推出如下结论
1) 异常球质量大于正常球
2) 异常球在B3(a6,a7,a8)中
========(第三次)比较任意的两个--a6,a7,如果
a6=a7，则异常球为 a8
a6<a7, 则异常球为 a7
a6>a7, 则异常球为 a6

Answer 5

1—4 一组 5—8 一组 8—12一组