Question

高二数学几何题

已知A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y^2=2px(p>0)上的两个动点，x1×x2不等于0
O是坐标原点，
向量OA、OB满足｜OA+OB｜=｜OA-OB｜，
设圆C的方程为x^2+y^2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0
1)证明AB是圆C的直径。
2)当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离最小值为(2√5)/5时，求p的值。

能做多少就做多少吧，麻烦告诉我解题方法，谢谢了。

Answer 1

(1)
证明:因为｜OA+OB｜=｜OA-OB｜，所以在向量图中可看出OA与OB垂直，即两线斜率的乘积为-1
所以x1*x2+y1*y2=0
设线段AB的中点坐标为(m,n)，则有m=(x1+x2)/2,n=(y1+y2)/2，代入x^2+y^2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0中，得
x^2+y^2-2mx-2ny=0
可变化为(x-m)^2+(y-n)^2=m^2+n^2
所以此圆直径D=2*根下(m^2+n^2)
AB间距离为
d=根下[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]
=根下[(x1+x2)^2+(y1+y2)^2-4(x1*x2+y1*y2)]
将m=(x1+x2)/2,n=(y1+y2)/2，x1*x2+y1*y2=0代入，得
d=根下[4*m^2+4*n^2-0]=2*根下(m^2+n^2)
D=d，故结论得证
(2)
将A(x1,y1),B(x2,y2)代入y^2=2px(p>0)中，得
y1^2=2px1和y2^2=2px2
1.
两式相乘，得(y1*y2)^2=4p^2*(x1*x2)
将x1*x2+y1*y2=0代入，得x1*x2=4P^2,y1*y2=-4P^2
2.
两式相加，得y1^2+y2^2=2px1+2px2
整理，得(y1+y2)^2-2y1*y2=2p(x1+x2)
将m=(x1+x2)/2,n=(y1+y2)/2和y1*y2=-4P^2代入，得
4*n^2+4p^2=4pm
整理，得n^2+p^2=pm
点C(m,n)到x-2y=0最小距离为(2√5)/5
由距离公式
d=|1*m-2n|/根下[(1^2+(-2)^2)]
=|m-2n|/根5>=(2√5)/5
整理，得|m-2n|>=2
将n^2+p^2=pm代入，得
|n^2-2n+p^2|>=2
可写成|(n-1)^2+(p^2-1)|>=2
由上式可知当p^2-1=2时，不等式左边可取到最小值2
所以p=+/-根3
因为p>0，所以取p=根3

Answer 2

向量OA、OB满足｜OA+OB｜=｜OA-OB｜ 意味着 向量OA和OB垂直，x1x2+y1y2=0
将O，A，B代入圆方程均成立
所以O，A，B均在原上，且OB垂直于OA，则圆周角BOA对应弧为pai，其对应弦AB当然就是直径了

Answer 3

x^2+y^2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0
（x-(x1+x2)/2)^2+(y-(y1+y2)/2)^2=(x1+x2)^2/4+(y1+y2)^2/4
圆心是((x1+x2)/2,(y1+y2)/2),就是AB的中点
另一方面，｜OA+OB｜=｜OA-OB｜
于是（OA+OB)^2=(OA-OB)^2 化简，就有OA*OB=0
就是说x1x2+y1y2=0 (*)
将A，B的坐标代入圆的方程，借助（*）式，不难发现，A，B的坐标都满足圆的方程，所以A，B都在圆上
并且AB的中点是圆心，所以AB是圆C的半径

设AB的中点为（x0,y0),显然x0=(x1+x2)/2, y0=(y1+y2)/2
因为AB都在抛物线上，所以
y1^2=2px1
y2^2=2px2

两式相乘，得到(y1y2)^2=4p^2x1x2
又x1x2+y1y2=0
所以(y1y2)^2=(x1x2)^2=4p^2x1x2 得到x1x2=4p^2
显然，y1y2=-x1x2=-4p^2

两式相减，y1^2-y2^2=(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2)
整理得 (y1-y2)/(x1-x2)=2p/(y1+y2)=p/y0
设AB的方程为y-y0=k(x-x0)
显然k=(y1-y2)/(x1-x2)=p/y0
所以AB的方程为y-y0=p/y0(x-x0)

将AB的方程与抛物线的方程联立
y-y0=p/y0(x-x0)
y^2=2px
消去x，得到y-y0=p/y0(y^2/2p-x0) 韦达定理y1y2=2(y0^2+px0)

y1y2=-4p^2=2(y0^2-px0)
y0^2-px0=-2p^2 所以y0^2=px0-2p^2,x0=(y0^2+2p^2)/p

AB中点的坐标就是（(y0^2+2p^2)/p，y0)
它到直线x-2y=0的距离的最小值为(2√5)/5

用点到直线的距离公式，可以知道
d=｜(y0^2+2p^2)/p-2y0｜/根号5
当y0=p时，取到最小值

可以计算 ((p^2+2p^2)/p-2p)/根号5=(2√5)/5
就是(p^2+2p^2)/p-2p=p=2
p的值是2
（一道好题目嗯~~~）