Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且P

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC＝2，M、N分别为PC、PB的中点。求平面ADMN与平面ABCD所成的二面角的余弦值。求B点到平面PAC的距离。要详细的过程

Answer 1

(1)

∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，

以A为原点，AB,AD,AP为x,y,z轴建立坐标系

∵PA=AD=AB=2BC＝2

∴A(0,0,0),B(2,0,0) ,D(0,2,0) P(0,0,2)

  N(1,0,1) ,C(2,1,0)

设平面ADMN的一个法向量为m=(x1,y1,z1)

∴m●AN=0,m●AD=0

∴{x1+z1=0

   { y1=0 

取x1=1,z1=-1,y1=0

∴m=（1，0，-1）

∵平面ABCD的一个法向量为AP=(0,0,2)

∴cos<AP,m>=-2/(√2*2)=-√2/2

设平面ADMN与平面ABCD所成的二面角为α

则α为锐角，∴cosα=√2/2

∴平面ADMN与平面ABCD所成的二面角的余弦值为√2/2

 (2)

设平面PAC的一个法向量n=(x2,y2,z2)

∴n●AP=0,n●AC=0

∴{z2=0

   {2x2+y2=0

取x2=1,y2=-2,z2=0

∴n=(1,-2,0)

又BC=(0，1，0）

∴B到平面PAC的距离

d=|BC●n|/|n|

 =2/√5

=2√5/5