Question

求积分 如图（请高人指点）

Answer 1

题目出的有点问题。

将xoy坐标系经坐标变换（逆时针旋转45°）化为uov坐标系，很容易看出，约束条件方程是一抛物线u^2=v，积分下限x=0在uov坐标系下相当于直线v=u，积分上限x=√2在新坐标系下相当于v=u-2，直线x=m（相当于直线v=u-m√2）与抛物线可能没交点或可能有两个交点，原式中积分函数相当于(y^2-0)，故应取靠下的那个交点纵坐标，积分区域参见下面的示意图：

由约束条件y^2+(2x-√2)y+(x^2+x√2)=0，可得 y=[(√2-2x)-√(2-8x√2)]/2，代入原积分式直接计算即可；

由于当x>√2/8后y无意义，所以积分区域只能局限在{x=0~√2/8}；

积分结果就是求上图中黄色区域的面积，当x=√2/8时得到最大面积（x再大时区域不封闭）；利用切点坐标(u,v)=(1/2,1/4)很容易求得这部分面积，其值等于下方的一个等腰直角三角形面积（(√2/8)^2/2=1/64）再加如下积分：∫{0,1/4}(\[(v+1/4)-√v]dv={v^2/2+v/4-(2/3)v^(3/2)}|{0,1/4}=1/96；

追问

高手啊！！！
其实是这样，我原是想求y=x^2与y=x所围成的面积，绕y=x旋转后所得体积。
我把y=x^2瞬时转过45°后就是之前的约束方程。然后在求之前的积分*π就是体积了。
没想到你可以逆推回去。厉害！！！
其实这几天我想明白了，请您指教：隐函数求积分要先构建参数方程。
本题，令x+y=u，则x，y，dx都能用u表示，就能求积分了。
很抱歉没能及时追问，这两天忙回家的事情。

Answer 2

不知道啊啊

追问

是啊 隐函数是如何求积的呢？ 伤脑筋

追答

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