Question

高中立体几何！！！

如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC⊥侧面AA1C1C,△AA1C为等边三角形，AB⊥BC且AB=BC，三棱锥B-AA1C的体积为（9倍跟号3）/8.
（1）求证：AC⊥A1B；
（2）求直线A1C与平面BAA1所成角的正弦值.

Answer 1

1)见左图

令AC中点为M,连接BM,A1M

∵AB=BC,AA1=A1C

∴AC⊥BM,AC⊥A1M

∴AC⊥面BMA1

AC⊥A1B

2)   V(B-AA1C)=(9√3)/8

可解得AB=(3√2)/2,A1A=A1B=3

S(△AA1B)=（9√7）/8.....(这里真心算得辛苦.过程不打了)

......见右图

过点C作线段CN⊥面AA1B交面AA1B于点N,垂足为N.连接A1N

∴CN为三菱锥C-AA1B的高............(以AA1B为底面)

∴CN=（9√3）/8      *      3      /     .（9√7）/8

        =(3√21)/7

所以A1C与平面BAA1所成角的正弦值=CN/A1C=(√21)/7

 

顺便说说楼上的误区...这里△AA1B不是直角三角形.所以不能用勾股定理求A1B

Answer 2

解：1、由底面ABC⊥侧面AA1C1C，且AB⊥BC 所以AB⊥平面BB1C1C 又由AB=BC 三棱柱ABC-A1B1C1 两底面是等腰直角三角形 ，取AC 中点M链接BM,A1M 有AB=BC,A1A=A1C 所以AC⊥BM,AC⊥A1M 所以AC⊥面A1MB所以A1M是A1B在面A1AC上的投影，由三垂线定理 AC⊥A1B
2、三棱锥B-AA1C的体积=三角形A1AC的面积*BM*1/3=（9倍跟号3）/8. 便可解出 AC=A1A=A1C=3 ，BA1的平方=AB的平方+A1A的平方解出A1B的值
A1C与平面BAA1所成角的正弦值=A1C/A1B