Question

f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,证明在(0,1)内至少存在一点使f'(x)=1

f(x)在[0,1]上连续，在（0，1）内可导。

Answer 1

根据拉格朗日定理，存在ξ1∈(0，1/2)，满足f'(ξ1)=[f(1/2)-f(0)]/(1/2-0)，即f'(ξ1)=2①；同理存在ξ2∈(1/2，1)，满足f'(ξ2)=[f(1)-f(1/2)]/(1-1/2)，即f'(ξ2)=-2②；考察极限lim(△x→0)f'(x+△x)，由于f(x)在(0，1)内可导，即f'(x)存在，所以lim(△x→0)f'(x+△x)=f'(x)，即f'(x)在(0，1)连续，所以至少存在一点x∈(ξ1，ξ2)，即x∈(0，1)，满足f'(ξ1)=2＞f'(x)=1＞f'(ξ2)=-2。