Question

如图,四边形ABCD中,AD‖BC,∠ABC=90°,点E是DC的中点,过点E作DC的垂线交AB于点P,交CB延长线于M

点F在线段ME上，且CF=AD,ME=MA.
1)若∠MFC=120°,求证AM=2MB
2)若∠FCM=40°，求∠APM

Answer 1

题目有误，应为MA=MF,

1）连DM,DF

因为ME⊥CD,DE=CE

所以ME是CD的垂直平分线

所以MD=MC,DF=FC

因为CF=AD

所以CF=AD

因为MA=MF

所以△MCF≌△MDA

所以∠MAD=∠MFC=120°

因为∠BAD=90°

所以∠MAB=∠MAD-∠BAD=120-90=30°

因为∠ABC=90°

所以AM=2MB

 

2）因为MA=MF,AD=FD,MD为公共边

所以△MAD≌△MFD

所以∠ADM=∠MDF

因为△MCF≌△MDA

所以∠FCM=∠ADM=40°

所以∠ADF=2∠ADM=80°

因为AD∥BC

所以∠ADC+∠BCD=180°

所以∠FDC+∠FCD=180-∠ADF-∠BCF=180-80-40=60

因为FD=FC

所以∠FCD=∠FDC=30°

所以∠MCD=∠MCF+∠FCD=40+30=70°

所以∠FMC=90-70=20°

所以∠APM=∠FMC+∠ABM=20+90=110°