Question

如图，矩形OABC在平面直角坐标系内(O为坐标原点)，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标为

分别为（-2，2倍根号3），点E是BC的中点，点H在OA上，且AH=1/2，过点H且平行于y轴的HG与EB交于点G，现将矩形折叠，使顶点C落在HG上，并与HG上的点D重合，折痕为EF，点F为折痕与y轴的交点
问：(1)求∠CEF的度数和点D的坐标
(2)求折痕EF所在直线的函数表达式
(3)若点P在直线EF上，当△PFD为等腰三角形时，请问满足条件的点P有几个？请求出点P的坐标，并写出解答过程。

Answer 1

⑴因矩形OABC的OA、OC与坐标轴重合，B点坐标为（-2，2*3^（1/2））
则OA=BC=2，OC=AB=2*3^（1/2）
E是BC中点，则CE=BE=BC/2=1
AH=1/2
HG‖y轴，则BG=AH，
EG=BE-BG=1-1/2=1/2
因△DEF为Rt△CEF折叠而来，所以△DEF为Rt△，且
△DEF≌△CEF
∠DEF=∠CEF，DE=CE=1
在Rt△DEG中，cos∠DEG=EG/DE=(1/2)/1=1/2,则∠DEG=60°
又∠DEF=∠CEF,
∴∠CEF=(180°-∠DEG)/2=(180°-60°)/2=60°
D点横坐标为：1/2-2=-3/2
纵坐标为：2*3^(1/2)-1
即其坐标为（-3/2，2*3^(1/2)-1）
⑵由⑴知∠CEF=60°，即折痕EF与x轴的夹角为：180°-60°=120°
设其直线的函数为：y=kx+b
则 k=tan120°=-3^(1/2)
因直线过E点（-1，2*3^(1/2)）
代入直线方程，2*3^(1/2)= -3^(1/2)*（-1）+b,得b=3^(1/2)
所以直线EF的函数为：y=-3^(1/2)x+3^(1/2)
⑶由上可知直线EF的函数为：y=-3^(1/2)x+3^(1/2)
则，F点的坐标为：（0，3^(1/2)）
且∠DFP=30°，DF=CF=2*3^(1/2)- 3^(1/2)= 3^(1/2)
P点在EF上，要使△PFD为等腰三角形，则有（三种情况）：
①P1D=P1F
过P1作P1Q⊥DF于Q，则Q为DF中点
FQ=DF/2=（3^(1/2)）/2，则 P1F=QF/cos∠DFP1=1
所以P1点横坐标为：-P1F*cos60°=-1/2
纵坐标为：3^(1/2)+ P1F*sin60°=(3*3^(1/2))/2
即P1为（-1/2，(3*3^(1/2))/2）
②DF=P2F
此时P2F=3^(1/2)
所以P2点横坐标为：-P2F*cos60°=-（3^(1/2)）/2
纵坐标为：3^(1/2)+ P2F*sin60°=(5*3^(1/2))/2
即P3为（-（3^(1/2)）/2，(5*3^(1/2))/2）
③DF=DP3
过D点作DR⊥P3F于R，则R为P3F中点
在Rt△DFR中，FR=DF/cos∠DFP3=2,则FP3=4
所以P3点横坐标为：-P3F*cos60°=-2
纵坐标为：3^(1/2)+ P3F*sin60°=3*3^(1/2)
即P3为（-2，3*3^(1/2)

Answer 2

⑴因矩形OABC的OA、OC与坐标轴重合，B点坐标为（-2，2*3^（1/2））
则OA=BC=2，OC=AB=2*3^（1/2）
E是BC中点，则CE=BE=BC/2=1
AH=1/2
HG‖y轴，则BG=AH，
EG=BE-BG=1-1/2=1/2
因△DEF为Rt△CEF折叠而来，所以△DEF为Rt△，且
△DEF≌△CEF
∠DEF=∠CEF，DE=CE=1
在Rt△DEG中，cos∠DEG=EG/DE=(1/2)/1=1/2,则∠DEG=60°
又∠DEF=∠CEF,
∴∠CEF=(180°-∠DEG)/2=(180°-60°)/2=60°
D点横坐标为：1/2-2=-3/2
纵坐标为：2*3^(1/2)-1
即其坐标为（-3/2，2*3^(1/2)-1）
⑵由⑴知∠CEF=60°，即折痕EF与x轴的夹角为：180°-60°=120°
设其直线的函数为：y=kx b
则 k=tan120°=-3^(1/2)
因直线过E点（-1，2*3^(1/2)）
代入直线方程，2*3^(1/2)= -3^(1/2)*（-1） b,得b=3^(1/2)
所以直线EF的函数为：y=-3^(1/2)x 3^(1/2)