Question

如图,已知向量OP=(2,1),向量OA=(1,7),向量OB=(5,1),设Z是直线OP上的一动点.

(1)求使向量ZA·向量ZB取最小值时的向量OZ；
(2)对(1)中求出的点Z，求cos∠AZB的值。

Answer 1

（1）设向量OZ=(x,y)，则ZA=(1-x,7-y), ZB=(5-x,1-y)
又点Z在直线OP上，∴有 k(OZ)=y/x=1/2=k(OP)
∴向量ZA.向量ZB=(1-x)(5-x)+(7-y)(1-y)
=5-6x+x^2+7-8y+y^2
=5-12y+4y^2+7-8y+y^2
=12-20y+5y^2
=5(y-2)^2-8
≥-8
当且仅当y=2时，x=4时，取得最小值-8
∴此时向量OZ=(4,2)
（2）∵向量ZA.向量ZB=|ZA|*|ZB|*cos∠AZB
∴cos∠AZB=向量ZA.向量ZB/(|ZA|*|ZB|)
而|ZA|=|(1-4,7-2)|=√34，|ZB|=|(5-4,1-2)|=√2，
向量ZA.向量ZB最小值=-8
∴cos∠AZB=-8/(√34*√2)=-4/√17

Answer 2

楼上的结论完全正确，但假如设OM=KOP=（2K，K）之后ZAZB=（ZO+OA）（ZO+OB）之后便得到一个关于K的二次函数5（K-2）*2-8，之后便得到结论了，这样更快些。