Question

请问如何用数学归纳法证明 n！< n 的n次方(在 n 大于等于2 的情况下)？ 多谢！

Answer 1

(1)当n=2时，2！=2×1=2 、2²=4 、原式成立。
(2)设n=k时，k！<k的k次方；那麽，当n=k 1时(k 1)！=(k 1)×k！<（K 1）×K的k次方<(k 1)×(k 1)的k次方=(k 1)的（k 1）次方。原式成立。
根据⑴⑵可得原式成立

Answer 2

n！< n^ n，( n ≥2 )
证明，令S=n! - n^n ( n ≥2 )
数学归纳法
1，当n=2时，S=2!-2^2=2-4=-2<0
2，设n=m时，S=m!-m^m< 0成立
3，当n=m+1时，
S=(m+1)!-(m+1)^(m+1)
=m!*(m+1)-(m+1)*(m+1)^m
=(m+1)[m!*-(m+1)^m]
因为，m≥2（已知）
所以：
(m+1)^m＞m^m，m!*-(m+1)^m＜m!*-m^m< 0……a
m+1＞0……b
由a，b知：S< 0
综合1,2,3得：S=n! - n^n < 0，
即：n！< n^ n，( n ≥2 )