Question

求函数y=tanx的二阶麦克劳林公式

先给出麦克劳林公式:f(x)=f(0)＋f'(0)x＋f"(0)/2阶乘x^2＋...＋f(n)(0)/n阶乘乘x^n＋f(n＋1)(θx)/(n＋1)阶乘乘x^(n＋1)(0<θ<1).然后,f(x)=tanx,f(0)=0,f'(x)=sec^2x,f'(0)=1,f"(x)=2secx·secxtanx=2sec^2xtanx,f"(0)=0,f"'(x)=2(3tan^2xsec^2x＋sec^2x)=2(3sec^4x-2sec^2x)=2(3-2cos^2x)/cos^4x,f"'(0)=1.所以tanx的二阶迈克劳林公式为，tanx=f(0)＋f'(0)x＋f"(0)/2阶乘乘x^2＋f"'(0)/3阶乘乘x^3=x＋2(3-2cos^2θx)/6cos^4θx*x^3=x＋2[3-2(1-sin^2θx)]/6cos^4θx*x^3=x＋(1＋2sin^2θx)/3cos^4θx*x^3.个人见解。

Answer 1

y''(x)=2secxsecxtanx

y=tanx

y(0)=0dy/dx=(secx)^bai2

则y'(0)=1

其二阶导为：y''(x)=2secxsecxtanx

则y''(0)=0

其三阶导为：

y'''(x)=6(tanx)^2(secx)^2+2(secx)^2

=6(secx)^4-4(secx)^2

=[6-4(cosx)^2]/(cox)^4

=[2+4(sinx)^2]/(cosx)^4

麦克劳林公式重要性体现在以下五个方面：

1、幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。

2、一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。

3、泰勒级数可以用来近似计算函数的值，并估计误差。

4、证明不等式。

5、求待定式的极限。

Answer 2

y=tanx

y(0)=0dy/dx=(secx)^bai2

则y'(0)=1

其二阶导为：y''(x)=2secxsecxtanx

则y''(0)=0

其三阶导为：

y'''(x)=6(tanx)^2(secx)^2+2(secx)^2

=6(secx)^4-4(secx)^2

=[6-4(cosx)^2]/(cox)^4

=[2+4(sinx)^2]/(cosx)^4

扩展资料：

在麦克劳林公式中，误差|R𝗻(x)|是当x→0时比xⁿ高阶的无穷小。 若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和。

泰勒公式的几何意义是利用多项式函数来逼近原函数，由于多项式函数可以任意次求导，易于计算，且便于求解极值或者判断函数的性质，因此可以通过泰勒公式获取函数的信息，同时，对于这种近似，必须提供误差分析，来提供近似的可靠性。

Answer 3

y=tanx

y(0)=0dy=(secx)^2

则y'(0)=1

其二阶导为：y''(x)=2secxsecxtanx

则y''(0)=0

其三阶导为：y'''(x)=6(tanx)^2(secx)^2+2(secx)^2=6(secx)^4-4(secx)^2=[6-4(cosx)^2]/(cox)

^4=[2+4(sinx)^2]/(cosx)^4

所以由公式f(x)=f(0)+f'(0)x+1/2f''(0)x^2+1/6f'''(hx)x^3

扩展资料：

泰勒展开式的重要性体现在以下五个方面：

1、幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。

2、一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。

3、泰勒级数可以用来近似计算函数的值，并估计误差。

4、证明不等式。

5、求待定式的极限。

常用泰勒展开公式如下：

1、e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……

2、ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1)

3、sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。(-∞<x<∞)

4、cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+…… (-∞<x<∞)

5、arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……(|x|<1)

6、arccos x = π - ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + …… ) (|x|<1)

7、sinh x = x+x^3/3!+x^5/5!+……+(-1)^(k-1)*(x^2k-1)/(2k-1)!+…… (-∞<x<∞)

Answer 4

tanx=f(0)＋f'(0)x＋(f"(0)/2!)x²＋(f"'(ξ)/3!)x³
其中，ξ位于0与x之间。
你这一步写错了，但最后代入的是对的。

Answer 5

，上面看得有点眼花。 二阶：f(X)=f(0)+f'(0)X+(f''(0)X^2)/2+(f'''(ξ)X^3)/6, =X+(sinξ)^2)/(cosξ)^4 + 1/(3*(cosξ)^2) 满意请采纳！