Question

两道近世代数题，即将考试希望各位帮忙解答（解释尽量详细），谢谢！

主要绿色笔圈起来的不懂

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Answer 1

5.(C)构成域, 加法和乘法应该是复数乘法(算它印错了), 构成整环是显然的.
可验证非零元a+bi的逆是(a-bi)/(a²+b²), (非零元a²+b² ≠ 0).
(D)其实整环都不是, 例如[-1,0]上取0, 在[0,1]上取x的函数, 和[-1,0]上取x, 在[0,1]上取0的函数.
两个非零元乘积为0, 都是零因子.

三. 题目有个术语使用不当, 应该是主理想, 而不是主理想环.
Z3其实是个域, 域上的多项式环可以做带余除法.
对Z3[x]中的任意元素p(x), 设p(x) = ([1]x²+[1]x+[2])·q(x)+r(x), r(x)次数 < 2.
则p(x)在模<[1]x²+[1]x+[2]>意义下等价于余式r(x).
又Z3[x]中任意两个不同的次数 < 2的多项式一定不等价(<[1]x²+[1]x+[2]>中的非零元次数 ≥ 2).
所以Z3[x]/<[1]x²+[1]x+[2]> = {[[0]], [[1]], [[2]], [[1]x], [[1]x+[1]], [[1]x+[2]], [[2]x], [[2]x+[1]], [[2]x+[2]]}.
[[2]x+[1]]的逆也用带余除法, [1]x²+[1]x+[2] = ([2]x+[1])([2]x+[1])+[1].
在模<[1]x²+[1]x+[2]>意义下[[2]x+[1]]·[-[2]x-[1]] = [[1]].
调整一下"符号"([2] = -[1]), 有[[2]x+[1]]·[[1]x+[2]] = [[1]], 即[[1]x+[2]]是[[2]x+[1]]的逆.

追问

第五题D选项：不是非零的相乘等于零才是零因子么？可是这里有一个取了0，不太懂

追答

注意区分函数值取0和是不是零元素两个概念.
非零是指不是零元素, 在这个环里零元素是处处为0的函数.
所以上面构造的两个元素都不是零元素, 尽管分别在半个区间上取0.