Question

参数方程所表示的函数的二阶微分怎么表示？用x还是参数表示？ 例如y=3t-t^3 x=2t-t^2 求d^2y 与 dx^2 ?

Answer 1

对于参数方程：
y=y(t)=3t-t^3
x=x(t)=2t-t^2

一阶导数：
dy/dx
=(dy/dt)/(dx/dt)
=y'/x'
=3(1-t^2) / 2(1-t)
=3(1+t)/2
那么，一阶微分：dy=3(1+t)/2 dx

二阶导数：
d^2/dx^2
=d(dy/dx)/dx
=d(y'/x')/dx
=[d(y'/x')/dt] / [dx/dt]
=[(y''x'-y'x'')/x'^2] / [x']
=(y''x'-y'x'') / x'^3
=[(-6t)(2-2t)-(3-3t^2)(-2)] / (2-2t)^3
=(-12t+12t^2+6-6t^2) / 8(1-t)^3
=(6t^2-12t+6) / 8(1-t)^3
=6(1-t)^2 / 8(1-t)^3
=3/[4(1-t)]
那么，二阶微分：d^2y=3/[4(1-t)] dx^2

要搞清楚是对谁的微分，在这里，对x与对t的微分是不同的
在表示的时候用t就可以了

有不懂欢迎追问

追问

这是求的二阶导数，不是二阶微分啊。我问的是求d^2y 和 dx^2

追答

我想问一下，二阶微分是x，y对t求的吗？

追问

我也不知道啊，题目中没说，这是原题，你帮忙解答一下吧？谢谢

追答

上面写的二阶微分应该是错的……
d^2y
=d(dy)
=d(3-3t^2 dt)
=-6t dt^2

dx^2
=(dx)^2
=(2-2t dt)^2
=4+4t^2-8t (dt)^2
=4t^2-8t+4 dt^2

y''明显不等于d^2y / dx^2