Question

如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B．已知抛物线y=1/6x^2+bx+c过点A和B，与y轴

点C．
（1）求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象；
（2）点Q（8，m）在抛物线y=1/6x^2+bx+c上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ+PB的最小值；
（3）CE是过点C的⊙M的切线，点E是切点，求OE所在直线的解析式．

Answer 1

（1）圆的标准方程为（x-4）^2+y^2=4
x轴上的点纵坐标为0，令y=0
可解得x=6或x=2
即A（2,0）B（6,0）
B又在抛物线上，坐标代入抛物线，有以下两式
0= 1/6*6^2+6b+c
0=1/6*2^2+2b+c
解得b=-4/3,c=2
抛物线解析式为y=1/6x^2-4/3x+2
y轴上点的横坐标为0则C（0,2）
（2）点q在抛物线上，m=2
抛物线对称轴为x=-b/2a=4
则P(4，y0)
由于C、Q关于对称轴对称
两点与对称轴上同点的距离相等
|PB+PQ| =|PB+PC|
P、B、C三点共线，则所求最小
|PB+PC|min=BC=2√10
（3）切线与半径垂直，即CE⊥OE
则CE斜率K1与OE斜率K2存在以下关系
K1*K2=-1
已知CE上一点C（0,2）用点斜式，得
y-2=k1x
化为一般式
k1x-y+2=0
圆心（4,0）到切线的距离等于半径
用点到直线的距离公式
|4k1+2|/√(〖k1〗^2 )+(-1)^2=2
解得k1=0或k1=-4/3
则对应的k2不存在（即倾斜角为90°）或k2=3/4
则OE为x=4（过圆心）
或y=（3/4）(x-4)= 3x/4-3(过圆心，点斜式)

Answer 2

（1）由m知A（2,0），B(6,0)
设y=1/6x²+bx+c
A,B带入
得y=1/6x²-4/3x+2
当x=0时，y=2
C（0，2）
（2）带入Q
得Q(8,2)
∵此抛物线对称轴为4
∴Q,C对称
∴PQ+PB最小值为CB
用勾股定理
CB=2根号10
所以PQ+PB最小值为2根号10
3
过点E做EF⊥ OB EG⊥Y轴
DEM=MED
DE+DM=4解方程DB的平方+ME的平方=DM的平方

DM=2.5 ..

DM.FE=DE.ME

FE=1.2 ....................