Question

数学二次函数图像中几个点构成的图像最大面积怎么求的？ 求思路

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如图,抛物线Y=（X+1）²+2K与X轴交于A、B两点,与Y轴交于点C（0，-3）.
①求抛物线的对称轴及K值
②求抛物线的对称轴上存在的一点P，使得PA+PC的值最小，求此时P的坐标
③点M是抛物线上的一动点，且在第3象限.
③1：当M运动到何处时，△AMB面积最大？求出△AMB的最大面积及此时的点M坐标
2：当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？ 求出四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐标。

（第1问会，主要第2、第3）

Answer 1

1）如果是3个点，但其中只有一个是动点P，另两个是定点A，B，那么以AB为底，P到AB的距离为高，这样得出的面积S=1/2*|AB|* h, h是一个带绝对值的一次函数，再考虑到P点(x, y)的限制条件
，易求其最大值。

2）如果是更多的点，但其中也只有一个是动点P，那么将图形分割成几个三角形，其中由另外几个点组成的三角形的面积是不同考虑的，只需考虑P与相邻两个点组成的三角形，方法如1.

这里，
1）y(0)=1+2k=-3,得：k=-2
对称轴为x=-1
y=(x+1)^2-4=x^2+2x-3
2) 显然由两点间线段最短的原理，当P为AC与对称轴的交点时PA+PC最小，最小值为AC的长度。
A(-3, 0), C(0, -3), AC直线为y=-x-3
交对称轴为x=-1,得：点P(-1, -2)
3)B(1,0), AB=4
M(t, t^2+2t-3), -3<t<0
M到AB的高h=-t^2-2t+3
面积=1/2*4*(-t^2-2t+3)=-2[(t+1)^2-4]=8-2(t+1)^2
当t=-1时，面积最大为8，此时M为(-1, -4)

AMCB中，ABC面积固定=1/2*4*3=6，只须考虑ACM的面积
AC=√(3^2+3^2)=3√2, AC直线y=-x-3
M到AC的距离h=|-t-3-t^2-2t+3|/√2=|t^2+3t|/√2=-t(t+3)/√2
所以ACM面积=1/2*AC*h=-3/2*t(t+3)=-3/2*[(t+3/2)^2-9/4]＝27/8-3/2*(t+3/2)^2
当t=-3/2时，ACM面积最大＝27/8
此时四边形面积=6+27/8=75/8
M点为(-3/2, -15/4)

Answer 2

既然你会的话，我给你提示吧
2、PA+PC最短 根据定理两点之间线段最短，所以连接AC得到的直线与对称轴的交点就是P
所以这个点其实是要求点A的坐标
3、△AMB面积最大 三角形的底边是定值为AB的长度吧，M的纵坐标值最大不就是最大么，M在第三象限，也就是M就是抛物线的顶点嘛
同样的四边形AMCB可以看出2个三角形△AMC+△ACB
而△ACB的面积是一定的 所以只需要△AMC面积最大
其中△AMC一边AC长度已知的 所以题目简化成在抛物线上存在一点M（第三象限）使得M到直线AC的距离最大

Answer 3

举个下例子就知道了。
设Y=-X^2-2X+3与X轴交于A(-3，0)、B(1，0)，与Y轴交于(0，3)，
在抛物线BC上取一P，使SΔPBC最大。
①求BC解析式：Y=-3X+3，
②过P作PQ⊥X轴交BC于R，
③设P(m，-m^2-2m+3)，则R(m，-3m+3)，
∴PR=(-m^2-2m+3)-(-3m+3)=-m^2+m=-(m-1/2)^2+1/4，
SΔBCP=SΔPRC+SΔPRB
=1/2PR*OQ+1/2PR*BQ
=1/2PR(OQ+BQ)
=1/2PR*OB=1/2PR
=-1/2(m-1/2)^2+1/8，
∴当m=1/2时S最大=1/8，
这时P(1/2，7/4)。

关键处：设P坐标得R坐标，PR可表示，
另外：SΔPBC=1/*PR*OB。

Answer 4

有一个动点就把这个面积表示成函数，一般会成一个二次函数，求其最大值就可以了。
我上高中时好多类似的题，这类是比较简单的题。

追问

怎么把面积表示成函数 举个例子什么的

追答

我们以前叫开车问题。比如椭圆上两个定点与一动点形成的三角形面积最大值。
两个定点好表示，动点x值不动，y根据椭圆方程写成x的表达式。这样三角形面积就写成关于x的方程，求这方程最大值就行了。
我举的例子可能不合适，我大学都毕业几年了，记不太清。
如果你有例子，我可以帮你解答。

方程是y=x^2+2x-3. M点坐标为(x,x^2+2x-3)
三角形面积是4*(1/2)*[x^2+2x-3]=2x^2+4x-6
这个方程求最大值就可以。在第三象限,则表示为f(x)=-(2x^2+4x-6)
解出来x=-1,面积为8,点为(-1,4).

第二个四边形面积，分成三角形ABC,已知。和三角形ACM.
其实就是求ACM最大值。
可以算出AC的长度是：A(-3,0), B(1,0), C(0,-3), AC长为：3*根号2,
可以求出AC线的方程为：x+y+3=0,
这时求出M点到AC的距离H，1/2H*AC，就是三角形ACM的面积，同样的方法算最大值
根据点到直线的距离公式，H=x+y+3,这里简化过了。表示成x就是x^2+3x。
三角形ACM面积为(1/2)(x^2+3x)*AC长（已经算出来了。）
那么，最大值很容易算，这里在第三象限，反向的，求最小就行了。
算出当x=-3/2时最大。后面自己算吧。呵呵。
打字不容易啊，兄弟，有别的问题可以问我。虽然大学毕业都好几年了，这类东西还是经常用到的。

Answer 5

如果这几个点围成的图形不是常见图形那一般情况（被X轴Y轴）分割成三角形，求所有三角形面积！

追问

如果是动点呢？

追答

一般中学阶段动点只有一个 这种情况下首先要准确的表示动点的横纵坐标（用一个字母），然后用定点中靠近动点的两个点组成三角形，基本上这个三角形能取得最大整个图形就能取得最大了！面积表示成函数问题课本上或参考书上有例题的@