Question

求教高数。不定积分.求完整过程.

Answer 1

可以令tanθ=e^x我算了下，不知道有没算错，这年头我小学还没过关我天 

 

Answer 2

设√(1+e^2x)=u
e^2x=u^2-1
∵e^x>0
∴e^x=√(u^2-1)
lne^x=x=ln√(u^2-1)=1/2*ln(u^2-1)
dx=1/2 * 1/(u^2-1) * 2udu
=udu/(u^2-1)

则原式化为
∫udu/(u^2-1) /u
=∫du/(u^2-1)
= ∫du/(u+1)(u-1)
=1/2∫du*[1/(u-1)-1/(u+1)]
=1/2ln(u-1)-1/2ln(u+1)+C
=1/2ln(u-1)/(u+1)+C
=1/2ln[√(1+e^2x)-1]/[√(1+e^2x)+1]+C
=1/2ln[√(1+e^2x)-1][√(1+e^2x)-1]/[√(1+e^2x)+1][√(1+e^2x)-1]+C
=1/2ln[√(1+e^2x)-1]^2/(1+e^2x-1)+C
=1/2ln[√(1+e^2x)-1]^2/e^2x+C
=1/2*2ln[√(1+e^2x)-1]/e^x+C
=ln[√(1+e^2x)-1]/e^x+C

Answer 3

令 x=-lnt 则化为-∫dt/√(t^2+1) =-ln(x+√(x^2+1)) (这个用tan代换或者sinh代换，或者最好记住结论) 把t带回即得出答案

Answer 4

令 u = e^(-x), du = - e^(-x) dx, 1 /√(1+e^(2x) = e^(-x) / √(1+e^(-2x))
∫ 1/√(1+e^(2x) dx = ∫ e^(-x) dx / √(1+e^(-2x))
= -∫ du / √(1+u²)
= -ln( u+ √(1+u²)) + C
= -ln[ e^(-x)+ √(1+e^(-2x)) ] + C

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