Question

求数学帝帮忙解答啊

设函数Z = Z(x,y)由方程F(x+mz,y+nz) = 0确定，其中F(u,v)是可微函数，m与n是常数，求 m∂z/∂x+n∂z/∂y

Answer 1

设函数Z = Z(x,y)由方程F(x+mz,y+nz) = 0确定，其中F(u,v)是可微函数，m与n是常数，
求 m(∂z/∂x)+n(∂z/∂y)

解：依题意，u=x+mz；v=y+nz；
∂z/∂x=-[(∂F/∂u)(∂u/∂x)+(∂F/∂v)(∂v/∂x)]/[(∂F/∂u)(∂u/∂z)+(∂F/∂v)(∂v/∂z)]
=-[(∂F/∂u)(1+m∂z/∂x)+(∂F/∂v)(n∂z/∂x)]/[(∂F/∂u)(m)+(∂F/∂v)(n)]

去分母得
(∂z/∂x)[(m∂F/∂u)+(n∂F/∂v)]=-[(∂F/∂u)(1+m∂z/∂x)+(∂F/∂v)(n∂z/∂x)]=-[∂F/∂u+(m∂F/∂u+n∂F/∂v)(∂z/∂x)]
移项得：2[(m∂F/∂u)+(n∂F/∂v)](∂z/∂x)=-∂F/∂u
故∂F/∂x=-(∂F/∂u)/{2[(m∂F/∂u)+(n∂F/∂v)]}...........(1)

∂z/∂y=-[(∂F/∂u)(∂u/∂y)+(∂F/∂v)(∂v/∂y)]/[(∂F/∂u)(∂u/∂z)+(∂F/∂v)(∂v/∂z)]
=-[(∂F/∂u)(m∂z/∂y)+(∂F/∂v)(1+n∂z/∂y)]/[(∂F/∂u)(m)+(∂F/∂v)(n)]

去分母得
(∂z/∂y)[(m∂F/∂u)+(n∂F/∂v)]=-[(∂F/∂u)(m∂z/∂y)+(∂F/∂v)(1+n∂z/∂y)]=-[∂F/∂v+(m∂F/∂u+n∂F/∂v)(∂z/∂x)]
移项得2[(m∂F/∂u)+(n∂F/∂v)](∂z/∂y)=-∂F/∂v

故∂z/∂y=-(∂F/∂v)/{2[(m∂F/∂u)+(n∂F/∂v)]}............(2)
∴ m(∂z/∂x)+n(∂z/∂y)=-m(∂F/∂u)/{2[(m∂F/∂u)+(n∂F/∂v)]}-n(∂F/∂v)/{2[(m∂F/∂u)+(n∂F/∂v)]}
=(-1/2){m(∂F/∂u)/[(m∂F/∂u)+(n∂F/∂v)]+n(∂F/∂v)/[(m∂F/∂u)+(n∂F/∂v)]}

Answer 2

解：

   

我的见解，希望对你有用。

Answer 3

∂z/∂x=-∂F/∂x/∂F/∂Z 其他同理

追问

不懂啊，能不能写详细点啊

追答

套这个公式，X后的“/”是分数线