Question

在△ABC中，角A.B.C的对边分别为abc，若sinB分之sinA=c分之a，(b+c+a)(b+c-a)=3ab,则△ABC的形状为？

Answer 1

∵(b+c+a)(b+c-a)=3ab，
∴(b+c)²-a²=3ab，整理得b²+c²-a²=ab
∴cosC=(b²+c²-a²)/(2ab)=1/2，从而有C=60°.
又a/c
∴sinA/sinB=sinA/sinC
∴B=C，△ABC为正三角形.

Answer 2

根据sinB分之sinA=c分之a判断出b=c，为等腰三角形
(b+c+a)(b+c-a)=3ab，4b²-a²=3ab
4sin²B-sin²a=3sinAsinB
根据A与B+C互补知
4sin²B-sin²2B=3sin2BsinB
4sin²B-4sin²Bcos²B=6sin²BcosB
4-4cos²B=6cosB
解得cosB=1/2
B=60°
则为等边三角形

Answer 3

sinB分之sinA=c分之a ==》B=C
(b+c+a)(b+c-a)=3ab 化简可得b²+c²-a²=ab ==》C=60
综上三角形为正三角形