Question

已知函数f(x)=lg[a^x-(1/2)^x](a>0,a≠1,a为常数)

（1）当a=2时，求f(x)的定义域
（2）当a>1时，判断函数g(x)=a^x-(1/2)^x在区间（0，+无穷大）上的单调性
（3）当a>1时，若f(x)在区间[1,+无穷大)上恒为正值，求a取值范围

Answer 1

（1）当a=2时，f(x)=lg(2^x-2^(-x))
由对数函数性质知：2^x-2^(-x）>0
接下来有两种方法：方法一：（图像法）
由2^x，2^(-x）各自图像知，两函数相交于Y轴
所以在（0，+∞）内，2^x-2^(-x）>0
即，f(x)的定义域为（0，+∞）
方法二：（求导判断单调性）
对2^x-2^(-x）进行求导，发现其导数恒大于0，即2^x-2^(-x）是单调递增的
找出使2^x-2^(-x）=0的x值为0
所以当x>0时，2^x-2^(-x）>0
即，f(x)的定义域为（0，+∞）
（2）求g(x)的单调性，利用导数来判断
对g(x)进行求导为：(a^x)lna+(2^-x)ln2
因为a>1，所以导数恒大于0
即g(x)在（0，+∞）内单调递增
（3）因为f(x)图像是在（0，+∞）内单调递增的
当f(X)在（1，+∞）上恒为正时
即f(1)≥0，也就是lg(a-½)≥o=lg1
即a-½≥1
解得a≥3/2